Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine

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Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine #21681

avt
mto23
Punto
Buonasera, non ho capito bene come si risolvono gli esercizi sui problemi di Cauchy, a stento riesco ad arrivare all'equazione omogenea associata ma lì mi fermo e non riesco a trovare le soluzioni dell'equazione che soddisfino le condizioni al contorno, e dunque che siano soluzioni del problema di Cauchy. Qui, ad esempio, ho un problema di Cauchy con un'equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine.

Ringrazio chi volesse aiutarmi e gli anticipo tutta la mia stima! emt

y''+y = 5sin(2x) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 0
 
 

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine #21751

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mto23 emt

Vediamo come risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine: fatto questo, l'unica cosa che resterà da fare sarà sfruttare le condizioni al contorno del problema di Cauchy per ricavare il valore delle costanti arbitrarie.

L'equazione differenziale è la seguente:

y''+y = 5sin(2x)

consideriamo l'equazione omogenea associata

y''+y = 0

e seguiamo il procedimento per le equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

Consideriamo come soluzione una funzione della forma y(x) = e^(λ x). Sostituendo funzione e la relativa derivata seconda, giungiamo ad un'equazione del tipo

e^(λ x)(λ^2+1) = 0

Dato che la funzione e^(λ x) è positiva, possiamo passare direttamente all'equazione caratteristica

λ^2+1 = 0

che ammette come soluzioni λ = ±i (i denota l'unità immaginaria del campo complesso). Le soluzioni dell'equazione omogenea associata sono tutte e sole le possibili combinazioni lineari a coefficienti reali delle funzioni e^(-ix),e^(ix), dunque la generica soluzione dell'equazione omogenea associata è data da

y(x) = c_1e^(ix)+c_2e^(-ix)

Possiamo lasciare la soluzione dell'omogenea così, in alternativa possiamo ricorrere all'identità di Eulero e^(a+ib) = e^(a)cos(b)+ie^(a)sin(b) che ci permette di riscriverla nella forma

y(x) = d_1cos(x)+d_2sin(x)

con d_1,d_2 delle opportune costanti reali.

Passiamo a determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale, e a questo proposito ti invito a leggere la lezione sul metodo della somiglianza. Dobbiamo prendere una soluzione della forma

y_p(x) = acos(2x)+bsin(2x)

e calcolarne le derivate fino alla seconda per poi sostituire y_p''(x),y_p(x) nell'equazione differenziale e procedere con il metodo della somiglianza: si tratta cioè di raccogliere i coefficienti di sin(2x),cos(2x) e di confrontare i coefficienti tra i due membri. Così facendo si trova

-3acos(2x)-3bsin(2x) = 5sin(2x)

da cui

a = 0,b = -(5)/(3)

e quindi la soluzione particolare dell'equazione differenziale è data da

y_p(x) = -(5)/(3)sin(2x)

La soluzione generale dell'equazione differenziale è somma della soluzione dell'omogenea e della soluzione particolare

y(x) = d_1cos(x)+d_2sin(x)-(5)/(3)sin(2x)

A questo punto puoi sfruttare le condizioni al contorno per determinare univocamente il valore delle costanti arbitrarie d_1,d_2 emt
Ringraziano: Pi Greco, mto23, CarFaby

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine #21761

avt
mto23
Punto
Scusa non ho capito bene il passaggio in cui sostituisci y''(x) e y(x), quello che porta da -4acos(2x)-4bcos(2x) a -3acos(2x)-3bsin(2x), sommi i coefficienti a,b dell'omogenea a quelli della derivata doppia?

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine #21765

avt
Omega
Amministratore
No: devi solo prendere la derivata seconda y_p''(x) e la soluzione particolare y_p(x) e sommarle emt
Ringraziano: Pi Greco, mto23, CarFaby

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine #21940

avt
mto23
Punto
Grazie, è che ho l'esame fra 2 giorni e questa precisa cosa il professore l'ha spiegata stamani :/
Ringraziano: Omega

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine #21950

avt
Omega
Amministratore
Di niente, figurati! emt

Fammi sapere se ci dovessero essere ulteriori dubbi emt
Ringraziano: mto23
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Os