Problema di Cauchy con equazione differenziale non omogenea del secondo ordine

Buonasera, non ho capito bene come si risolvono gli esercizi sui problemi di Cauchy, a stento riesco ad arrivare all'equazione omogenea associata ma lì mi fermo e non riesco a trovare le soluzioni dell'equazione che soddisfino le condizioni al contorno, e dunque che siano soluzioni del problema di Cauchy. Qui, ad esempio, ho un problema di Cauchy con un'equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine.

Ringrazio chi volesse aiutarmi e gli anticipo tutta la mia stima!

Ciao Mto23

Vediamo come risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine: fatto questo, l'unica cosa che resterà da fare sarà sfruttare le condizioni al contorno del problema di Cauchy per ricavare il valore delle costanti arbitrarie.

L'equazione differenziale è la seguente:



consideriamo l'equazione omogenea associata



e seguiamo il procedimento per le equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

Consideriamo come soluzione una funzione della forma . Sostituendo funzione e la relativa derivata seconda, giungiamo ad un'equazione del tipo



Dato che la funzione è positiva, possiamo passare direttamente all'equazione caratteristica



che ammette come soluzioni ( denota l'unità immaginaria del campo complesso). Le soluzioni dell'equazione omogenea associata sono tutte e sole le possibili combinazioni lineari a coefficienti reali delle funzioni , dunque la generica soluzione dell'equazione omogenea associata è data da



Possiamo lasciare la soluzione dell'omogenea così, in alternativa possiamo ricorrere all'identità di Eulero che ci permette di riscriverla nella forma



con delle opportune costanti reali.

Passiamo a determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale, e a questo proposito ti invito a leggere la lezione sul metodo della somiglianza. Dobbiamo prendere una soluzione della forma



e calcolarne le derivate fino alla seconda per poi sostituire nell'equazione differenziale e procedere con il metodo della somiglianza: si tratta cioè di raccogliere i coefficienti di e di confrontare i coefficienti tra i due membri. Così facendo si trova



da cui



e quindi la soluzione particolare dell'equazione differenziale è data da



La soluzione generale dell'equazione differenziale è somma della soluzione dell'omogenea e della soluzione particolare



A questo punto puoi sfruttare le condizioni al contorno per determinare univocamente il valore delle costanti arbitrarie

Scusa non ho capito bene il passaggio in cui sostituisci e , quello che porta da a , sommi i coefficienti dell'omogenea a quelli della derivata doppia?

No: devi solo prendere la derivata seconda e la soluzione particolare e sommarle

Grazie, è che ho l'esame fra 2 giorni e questa precisa cosa il professore l'ha spiegata stamani :/

Di niente, figurati!

Fammi sapere se ci dovessero essere ulteriori dubbi