Esercizio: calcolo di massimi e minimi vincolati

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Esercizio: calcolo di massimi e minimi vincolati #21161

avt
nea16
Cerchio
Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio di calcolo dei massimi e minimi vincolati di una funzione?

Devo trovare i punti di massimo e minimo vincolati della funzione

z= y-2x+1

rispetto al vincolo: x^2+y^2-2x+4y-11=0

Grazie mille
Ringraziano: Bobonord
 
 

Re: Esercizio: calcolo di massimi e minimi vincolati #21260

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao nea16!

Seguiamo la procedura per il calcolo dei massimi e minimi vincolati. Abbiamo la funzione:

f(x,y)=y-2x+1

definita e continua sul vincolo:

x^2+y^2-2x+4y-11=0

Osserva che l'insieme descritto dalla equazione è chiuso e limitato quindi compatto. Per il teorema di Weierstrass, la funzione ammette massimo e minimo assoluti. Per determinarli utilizziamo il metodo di Lagrange:

Poniamo

g(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-11

definiamo la funzione lagrangiana:

L(x,y, \lambda)= f(x,y)-\lambda g(x,y)=

= y-2x+1-\lambda(x^2+y^2-2x+4y-11)

Calcoliamo le derivate parziali prime:

L_{x}(x,y, \lambda)=-2+2\lambda-2\lambda x

L_{y}(x,y, \lambda)=1-4\lambda-2\lambda y

L_{x}(x,y,\lambda)= -x^2-y^2+2x-4y+11

Imponiamo che le equazioni siano uguali a zero:

\begin{cases}-2+2\lambda-2\lambda x=0\\1-4\lambda-2\lambda y=0\\-x^2-y^2+2x-4y+11=0\end{cases}

Isoliamo x nella prima equazione e nella seconda equazione:

x=\frac{\lambda-1}{\lambda}\qquad \lambda\ne 0

mentre isoliamo y dalla seconda equazione:

y=\frac{1-4\lambda}{2\lambda}\qquad \lambda\ne 0

Sostituiamo nell'ultima equazione, e facendo un po' di conti otterrai:

\frac{64\lambda^2-5}{4\lambda^2}=0\iff \lambda=\pm \frac{\sqrt{5}}{8}

Per \lamba=-\frac{\sqrt{5}}{8} avremo che:

x=1+\frac{8}{\sqrt{5}}

y=-2-\frac{4}{\sqrt{5}}

La funzione f nel punto con coordinate x, y appena trovate vale:

f\left(1+\frac{8}{\sqrt{5}}, -2-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)=-3-4\sqrt{5}

Per \lamba=\frac{\sqrt{5}}{8} avremo che:

x=1-\frac{8}{\sqrt{5}}

y=-2+\frac{4}{\sqrt{5}}

mentre:

f\left(1-\frac{8}{\sqrt{5}},-2+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)=-3+4\sqrt{5}

da qui comprendiamo che

f\left(1+\frac{8}{\sqrt{5}}, -2-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)=-3-4\sqrt{5}

è il minimo assoluto, mentre

f\left(1-\frac{8}{\sqrt{5}},-2+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)=-3+4\sqrt{5}

è il massimo assoluto.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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