Problema di Cauchy con equazione differenziale omogenea del secondo ordine

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Problema di Cauchy con equazione differenziale omogenea del secondo ordine #20427

avt
Ihsahn666
Punto
Ragazzi potreste aiutarmi a risolvere questo problema di Cauchy con un'equazione differenziale del secondo ordine?

Il problema di Cauchy è questo

Y''+6Y'+9Y=0

con le condizioni

Y(0)=1, Y'(0)=2

Grazie mille!
 
 

Problema di Cauchy con equazione differenziale omogenea del secondo ordine #20451

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ihsahn666 emt

Il problema di Cauchy proposto presenta un'equazione differenziale omogenea (con termine noto uguale a zero), per cui possiamo risolvere l'equazione considerando una generica soluzione della forma y(x) = e^(λ x).

y''+6y'+9y = 0

Se calcoliamo y''(x) = λ^2 e^(λ x) e y'(x) = λ e^(λ x) e sostituiamo il tutto nell'equazione, otteniamo

e^(λ x)(λ^2+6λ+9) = 0

ed essendo e^(λ x) ≠ 0 per qualsiasi valore di λ, passiamo all'equazione

λ^2+6λ+9 = 0 → λ_(1,2) = -3

Abbiamo una soluzione dell'equazione associata all'omogenea di molteplicità 2, dunque lo spazio delle soluzioni dell'omogenea ha elementi della forma

y(x) = ae^(-3x)+bxe^(-3x)

Imponendo la condizione y(0) = 1 otteniamo

1 = a

Derivando la soluzione generale dell'omogenea

y'(x) = -3ae^(-3x)+be^(-3x)-3bxe^(-3x)

e imponendo la condizione y'(0) = 2 otteniamo

2 = -3a+b → b = 5

La soluzione del problema di Cauchy è dunque

y(x) = e^(-3x)+5xe^(-3x) = e^(-3x)(5x+1)
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Ihsahn666, tittaxxx2127

Problema di Cauchy con equazione differenziale omogenea del secondo ordine #20462

avt
Ihsahn666
Punto
Grazie mille Omega: gentilissimo! emt
Ringraziano: Omega

Problema di Cauchy con equazione differenziale omogenea del secondo ordine #20466

avt
Omega
Amministratore
Di niente, figurati! emt
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Os