Lunghezza di una curva piana descritta in forma esplicita

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Lunghezza di una curva piana descritta in forma esplicita #19523

avt
lolloviola
Frattale
Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare la lunghezza di una curva espressa in forma polare, al variare di un parametro positivo. Qual è la formula da applicare in questi casi?

Calcolare la lunghezza della curva espressa dall'equazione in forma polare:

\rho(\theta)=\frac{2a}{\cos(\theta)}

sull'intervallo \left[0,\frac{\pi}{4}\right], al variare del parametro reale positivo a.

Grazie!
 
 

Lunghezza di una curva piana descritta in forma esplicita #19535

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di dedicarci ai calcoli, facciamo un brevissimo premessa teorica. La lunghezza di una curva regolare descritta da un'equazione in forma polare

\rho=\rho(\theta)\ \ \ \mbox{con} \ \theta\in[\theta_0,\theta_1]

è data dal seguente integrale:

\mathcal{L}(\rho(\theta),[\theta_0,\theta_1])=\int_{\theta_0}^{\theta_1}{\sqrt{[\rho(\theta)]^2+[\rho'(\theta)]^2}}d\theta

Nel caso in esame \theta_0=0,\ \theta_1=\frac{\pi}{4}, mentre \rho(\theta) è:

\rho(\theta)=\frac{a}{\cos(\theta)}

Calcoliamo la derivata di \rho(\theta)

\rho'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\left[\frac{2a}{\cos(\theta)}\right]=

Invece di usare la regola sulla derivata del quoziente, riscriviamo la funzione come prodotto tra il numeratore e il reciproco del denominatore

\\ =\frac{d}{d\theta}\left[2a(\cos(\theta))^{-1}\right]= \\ \\ \\ =2a\frac{d}{d\theta}\left[(\cos(\theta))^{-1}\right]=

Usiamo la regola sulla derivata di una potenza, in combinazione con la regola per la derivata di una funzione composta

=2a\cdot(-1)\cdot(\cos(\theta))^{-2}\cdot\frac{d}{d\theta}[\cos(\theta)]=

e calcoliamo la derivata del coseno

\\ =-2a\cdot(\cos(\theta))^{-2}\cdot(-\sin(\theta))=\\ \\ =\frac{2a\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)}

Sostituiamo \rho(\theta), \ \rho'(\theta) nell'espressione

\sqrt{[\rho(\theta)]^2+[\rho'(\theta)]^{2}}

e semplifichiamola.

\\ \sqrt{[\rho(\theta)]^2+[\rho'(\theta)]^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\left(\frac{2a}{\cos(\theta)}\right)^2+\left(\frac{2a\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)}\right)^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{4a^2}{\cos^2(\theta)}+\frac{4a^2\sin^2(\theta)}{\cos^4(\theta)}}=\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{4a^2\cos^2(\theta)+4a^2\sin^2(\theta)}{\cos^4(\theta)}}=

Mettiamo in evidenza 4a^2

=\sqrt{\frac{4a^2[\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)]}{\cos^4(\theta)}}=

e usiamo la relazione fondamentale della goniometria

=\sqrt{\frac{4a^2}{\cos^4(\theta)}}=\frac{2a}{\cos^2(\theta)} \ \ \ \forall a>0

Finalmente possiamo usare la formula per calcolare la lunghezza della curva:

\\ \mathcal{L}\left(\rho(\theta),\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{2a}{\cos^2(\theta)}d\theta= \\ \\ \\ =2a\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^2(\theta)}d\theta=

Ci siamo ricondotti a un integrale notevole che è uguale alla funzione tangente, a meno di una costante additiva.

\\ =2a\left[\tan(\theta)\right]_{\theta=0}^{\theta=\tfrac{\pi}{4}}=\\ \\ =2a\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan(0)\right)=\\ \\ =2a

Possiamo finalmente concludere che la lunghezza della curva è 2a, al variare di a>0.
Ringraziano: Pi Greco
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Os