Determinare il dominio della soluzione massimale di un problema di Cauchy

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Determinare il dominio della soluzione massimale di un problema di Cauchy #17163

avt
Lely91
Punto
Ciao a tutti, devo determinare il dominio della soluzione massimale del seguente problema di Cauchy:

\begin{cases}y'=y^2\\ y(0)=\frac{1}{2}\end{cases}

Mi date una mano per favore?
 
 

Determinare il dominio della soluzione massimale di un problema di Cauchy #17180

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Lely91

Abbiamo il problema di Cauchy:

\begin{cases}y'= y^2\\ y(0)= \frac{1}{2}\end{cases}

L'equazione differenziale che interviene nel problema di Cauchy è:

y'= y^2

che è una equazione differenziale a variabili separabili, del tipo:

y'= a(x)b(y)

con

a(x)= 1 che è una funzione continua in tutto \mathbb{R}

b(y)= y^2 che è una funzione continua e derivabile con derivata continua in tutto \mathbb{R} e conseguentemente localmente lipschitziana uniformemente rispetto ad x.

Per prima cosa dobbiamo determinare le soluzioni costanti dell'equazione differenziale:

b(y)=0\iff y^2=0\iff y=0

La soluzione costante dell'equazione differenziale è y(x)=0\quad\forall x\in\mathbb{R} ma attenzione, non è soluzione del problema di Cauchy perché non rispetta la condizione iniziale.

Per y diverso da zero possiamo separare le variabili. La variabile y varia nel seguente dominio:

y\in (-\infty, 0)

oppure

y\in (0, +\infty)

Noi dobbiamo decidere in base alla condizione iniziale quale insieme utilizzare. Poiché y(0)= \frac{1}{2}\in (0, \infty) allora dobbiamo considerare questo intervallo. In definitiva lavoreremo nell'insieme:

\Omega:=\{(x, y): x\in\mathbb{R}, y\in (0, +\infty)\}

Tieni a mente questo insieme. Ci servirà in seguito.

Possiamo separare le variabili:

\int \frac{y'(x)}{y^2(x)}dx= \int dx\qquad (1.1)

Il secondo integrale è immediato, il primo un po' meno, ma non è impossibile emt

\int\frac{y'(x)}{y^2(x)}dx

Procediamo per sostituzione:

z= y(x)\implies dz= y'(x)dx

L'integrale si riduce quindi a:

\int \frac{dz}{z^2}=-\frac{1}{z}+ c_1

tornando in y:

\int\frac{y'(x)}{y^2(x)}dx= -\frac{1}{y(x)}+c_1

Il secondo integrale è invece:

\int dx= x +c_2

Sostituiamo gli integrali nella equazione (1.1)

-\frac{1}{y(x)}= x+c

dove c= c_2-c_1 è una costante reale.

Imponiamo le condizioni iniziali:

-\frac{1}{y(0)}= 0+c

-\frac{1}{\frac{1}{2}}= c\iff c= -2

L'equazione si riduce quindi a:

-\frac{1}{y(x)}= x-2

cambiamo segno membro a membro:

\frac{1}{y(x)}= 2-x

Ricorda ora che y(x)>0 di conseguenza anche 1/y(x)>0 perché quoziente di quantità positive, affinché questa equazione sia soddisfatta dobbiamo pretendere che anche il secondo membro sia maggiore di zero, quindi:

2-x>0\iff x<2\qquad (1.2)

Passando ai reciproci:

y(x)= \frac{1}{2-x}

Il dominio massimale è dato dalla condizione (1.2)

\mbox{dom}(y)= (-\infty, 2)


Ti consiglio questa lettura: soluzione globale e prolungamento massimale. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os