Problema di Cauchy con equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili

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Problema di Cauchy con equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili #16559

avt
math
Cerchio
Ho bisogno di una mano per risolvere un problema di Cauchy e per ricavare l'intervallo massimale dell'eventuale soluzione.

Studiare il seguente problema di Cauchy

\begin{cases}y'x=y+y^2\\ \\ y(1) = 1\end{cases}

Grazie.
 
 

Re: analisi 2 esame urgente #16584

avt
Ifrit
Amministratore
Studiamo il problema di Cauchy:

\begin{cases}y' x= y+y^2\\ y(1)=1\end{cases}

la cui equazione differenziale, per x\ne 0, si riscrive nella forma:

y'= \frac{y+y^2}{x}

Determiniamo le eventuali soluzioni costanti:

y+y^2=0\ \iff \ y(1+y)=0\iff y=0\vee y=-1

Abbiamo due soluzioni costanti della equazione differenziale ma non risolvono il problema di Cauchy perché non rispettano la condizione iniziale.

Poiché il punto iniziale è (1,1) l'equazione differenziale va studiata nell'insieme:

\Omega:=\{(x, y): x\in (0, \infty), y\in (0, +\infty) \}

Per y\ne 0\vee y\ne -1 possiamo separare le variabili:

\int \frac{y'(x)}{y(x)+y^2(x)}dx= \int \frac{1}{x}dx\quad (1.1)

Il secondo integrale è immediato e vale:

\int \frac{1}{x}dx= \ln|x|+c

Il primo invece è un po' più delicato.

Poniamo t= y(x)\implies dt= y'(x)dx

L'integrale diventa

\int \frac{dt}{t+t^2}

Lo risolviamo tramite i fratti semplici. Nota che:

t+t^2= t(t+1)

Possiamo determinare A e B costanti reali per i quali sussiste l'uguaglianza:

\frac{1}{t+t^2}= \frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}

Facciamo il minimo comune multiplo:

\frac{A(t+1)+Bt}{t(t+1)}= \frac{1}{t+t^2}

Da cui:

At+A+Bt=1\iff (A+B)t+A=1

Per il principio di identità dei polinomi si ha:

A= 1\,\, B= -1

L'integrale diventa quindi:

\int \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}dt= \ln|t|-\ln|t+1|+c_1

Tornando in y:

\ln|y(x)|-\ln|y(x)+1|+c_1

Pertanto l'equazione (1.1) diventa:

\ln|y(x)|-\ln|y(x)+1|+c_1= \ln|x|+c_2

Ora poiché x>0 e y>0 la precedente uguaglianza diventa:


\ln(y(x))-\ln(y(x)+1)+c_1=\ln(x)+c_2

che grazie alle proprietà dei logaritmi si tramuta in

\ln\left(\frac{y(x)}{y(x)+1}\right)=\ln(x)+c

con c=c_2-c_1.

Imponiamo la condizione iniziale (x_0,y_0)=(1,1) e calcoliamo il valore che deve assumere c

\ln\left(\frac{1}{2}\right)=c \ \ \ \to \ \ \  c=-\ln(2)

pertanto:

\\ \ln\left(\frac{y(x)}{y(x)+1}\right)= \ln(x)-\ln\left(2\right)\\ \\ \\\ \ln\left(\frac{y(x)}{y(x)+1}\right)=\ln\left(\frac{x}{2}\right)

Applichiamo membro a membro l'esponenziale:

\frac{y(x)}{y(x)+1}=\frac{x}{2}

Sommiamo e sottraiamo 1 al numeratore del primo membro:

\frac{y(x)+1-1}{y(x)+1}=\frac{x}{2}

da cui:

1-\frac{1}{y(x)+1}= \frac{x}{2}

Portiamo 1 al secondo membro:

-\frac{1}{y(x)+1}=-1+\frac{x}{2}

cambiamo segno membro a membro

\\ \frac{1}{y(x)+1}=1-\frac{x}{2} \\ \\ \\ \frac{1}{y(x)+1}=\frac{2-x}{2}

e passiamo ai reciproci:

y(x)+1=\frac{2}{2-x}

Portiamo 1 al secondo membro così da isolare y(x) al primo membro:

y(x)=\frac{2}{2-x}-1= \frac{2-2+x}{2-x}=\frac{x}{2-x}

Poiché y(x)>0, necessariamente anche \frac{x}{2-x} deve essere positiva, vale a dire:

\frac{x}{x-2}>0

e poiché x>0, l'intervallo massimale della soluzione è dato dal sistema

\begin{cases}\dfrac{x}{2-x}>0 \\ \\ x>0\end{cases}

ed è \mbox{IM}=(0,2).

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Urbano
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Os