Problema di cauchy con eq. diff. del primo ordine a variabili separabili

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema di cauchy con eq. diff. del primo ordine a variabili separabili #15830

avt
derp
Frattale
buonasera youmath come è possibile risolvere il seguente problema di cauchy:

y'=6x(y^(2) + 1 )/(x^(2) +1)^2 con y(0)=0

emt grazie mille
 
 

Problema di cauchy con eq. diff. del primo ordine a variabili separabili #15838

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo il problema di Cauchy:

y'= (6x (y^2+1))/((x^2+1)^2) ; y(0) = 0

L'equazione differenziale che interviene in esso è a variabili separabili e al secondo membro abbiamo una funzione di due variabili:

f(x,y) = (6x(y^2+1))/((x^2+1)^2)

che è continua per ogni (x,y)∈R^2 e derivabile rispetto ad y con derivata continua. Il teorema dell'esistenza e unicità locale della soluzione è soddisfatto.


Separiamo le variabili:

∫ (y'(x))/(1+y^2(x))dx = ∫ (6x)/((x^2+1)^2)dx qquad (1.1)

Risolviamo il primo integrale ponendo t = y(x) ⇒ dt = y'(x)dx

in tal modo l'integrale diventa:

∫ (dt)/(t^2+1)dt = arctan(t)+c_1

tornando in y:

∫ (y'(x))/(1+y^2(x))dx = arctan(y(x))+c_1


L'altro integrale è praticamente immediato:

∫(6x)/((x^2+1)^2)dx

per sostituzione, poniamo s = x^2+1 ⇒ ds = 2xdx

L'integrale diventa:

∫ (3 ds)/(s^2) = -(3)/(s)+c_2

Tornando in x:
∫(6x)/((x^2+1)^2)dx = -(3)/(x^2+1)



L'equazione (1.1) si riscrive quindi come:

arctan(y(x)) = -(3)/(x^2+1)+c con c = c_2-c_1

Imponiamo la condizione iniziale:

y(0) = 0

otterremo:

arctan(0) = -3+c ⇒ c = 3

L'equazione si riscrive quindi come:

arctan(y(x)) = -(3)/(x^2+1)+3 = (3x^2)/(1+x^2)

Applicando membro a membro la tangente, abbiamo:

y(x) = tan((3x^2)/(1+x^2))
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Miusha, dsfmath
  • Pagina:
  • 1
Os