Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine

Ragazzi come si risolve questo problema di Cauchy del secondo ordine? Grazie per l'eventuale risposta!

Hello Derp

Abbiamo il problema di Cauchy:



L'equazione differenziale è



è una equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. Procediamo con il metodo di somiglianza

Consideriamo l'equazione omogenea associata:



L'equazione caratteristica è:



Le radici caratteristiche sono:





Ovviamente il discriminante associato è negativo, conseguentemente la famiglia di funzioni che sono soluzioni della omogenea associata è:



con costanti da determinare.

Il nostro obiettivo ora è quello di determinare la particolare. Per farlo utilizzeremo il metodo di somiglianza. La funzione termine noto si presenta nella forma:



in particolare abbiamo:

• è un polinomio di grado 1.
• è il polinomio costante.
•

Osserva che il valore è soluzione della equazione caratteristica, quindi la soluzione particolare sarà della forma:



dove:

• è un polinomio dello stesso grado di
• è un polinomio dello stesso grado di

Abbiamo quindi che:



mentre



L'equazione particolare è del tipo:



Dobbiamo determinare A,B, C e D per farlo, deriviamo due volte la soluzione particolare:



Sostituendo nella equazione differenziale otteniamo:



Confrontando la funzione ottenuta con x cos(x) otteniamo:



Confrontando le due funzioni possiamo costruire il sistema:



Per il principio di identità dei polinomi abbiamo:



Il sistema ha per soluzione:



Dunque:



La famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale del PC è:





Per determinare le costanti imponiamo le condizioni iniziali.





Deriviamo e raggruppiamo:





In definitiva la soluzione del problema di Cauchy è:



Ammazza che esercizio pallosissimo!!

Devi fare moltissimi conti :(

Se la traccia mi avesse chiesto di svolgere questa equazione differenziale con il metodo della variazione delle costanti come si sarebbe dovuto operare? Vi ringrazio

Parti dalla soluzione dell'omogenea e la soluzione particolare la cerchi nella forma



calcoli la derivata prima



imponi la condizione (serve per semplificare i calcoli)



quindi calcoli la derivata seconda



se sostituisci nell'equazione e semplifichi trovi



quindi bisogna risolvere il sistema



che si può scrivere in forma matriciale come



la matrice quadrata si chiama wronskiano, leggi qui per qualche info in più: metodo del Wronskiano.

A questo punto puoi ricavare e applicando per esempio la regola di Cramer

Con Cramer eviti di calcolare direttamente la matrice inversa, in realtà in questo caso essendo una matrice 2x2 puoi pure provare a risolvere il sistema a mano, io come risultati ho trovato





quindi tutte funzioni integrabili senza troppo sforzo sfruttando le formule di duplicazione del seno e del coseno

Comunque le soluzioni corrette dovrebbero essere





prima avevo dimenticato la x ^^

Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Vorrei capire nei tuoi calcoli, precisamente al punto citato:

kameor ha scritto:

Cosa intendi per "serve per semplificare i calcoli"? Perché imponi quella quantità uguale a zero?

Poi, una volta che ottieni le soluzioni derivate dal sistema prodotto della matrice wronskiana per il vettore colonna delle derivate delle due funzioni e

kameor ha scritto:

Si può dire che le soluzioni trovate e dalla integrazione sono linearmente indipendenti in conseguenza al fatto che derivano dalla matrice wronskiana che, in questo caso, non è singolare?

Vi ringrazio

robe92 ha scritto:


siccome hai due gradi di libertà:

e

allora si possono imporre al massimo 2 vincoli, un vincolo è necessario e serve ad imporre che la funzione sia soluzione dell'equazione differenziale mentre l'altro vincolo si può scegliere a piacimento e fa comodo perchè consente di eliminare qualche termine e quindi di risparmiare diversi calcoli.


sinceramente non so se e vengano sempre indipendenti utilizzando quel metodo, ma considera che anche se non lo fossero non cambierebbe assolutamente nulla, infatti quelle due funzioni servono ad identificare solamente una particolare soluzione dell'equazione che una volta trovata rimane fissa e non viene moltiplicata per altri coefficienti semplicemente si somma cosi com'è alla soluzione dell'omogenea.