Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine #15351

avt
derp
Frattale
Ragazzi come si risolve questo problema di Cauchy del secondo ordine? Grazie per l'eventuale risposta!

y''+y = xcos(x) ; y(0) = 0 ; y'(0) = -(3)/(4)
Ringraziano: plex66
 
 

Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine #15359

avt
Ifrit
Amministratore
Hello Derp emt

Abbiamo il problema di Cauchy:

y''+y = xcos(x) ; y(0) = 0 ; y'(0) = -(3)/(4)

L'equazione differenziale è

y''+y = xcos(x)

è una equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. Procediamo con il metodo di somiglianza

Consideriamo l'equazione omogenea associata:

y''+y = 0

L'equazione caratteristica è:

λ^2+1 = 0

Le radici caratteristiche sono:

λ_1 = -i

λ_2 = -i

Ovviamente il discriminante associato è negativo, conseguentemente la famiglia di funzioni che sono soluzioni della omogenea associata è:

y_0(x) = c_1 cos(x)+c_2sin(x)

con c_1, c_2∈R costanti da determinare.

Il nostro obiettivo ora è quello di determinare la particolare. Per farlo utilizzeremo il metodo di somiglianza. La funzione termine noto si presenta nella forma:

f(x) = p_n(x) cos(α x)+q_n(x)sin(α x)

in particolare abbiamo:

p_n(x) = x è un polinomio di grado 1.
q_n(x) = 0 è il polinomio costante.
α = 1

Osserva che il valore α i = i è soluzione della equazione caratteristica, quindi la soluzione particolare sarà della forma:

y_p(x) = x(P_1(x)cos(α x)+Q_1(x)sin(α x))

dove:

P_1(x) è un polinomio dello stesso grado di p_n(x)
Q_1(x) è un polinomio dello stesso grado di p_n(x)

Abbiamo quindi che:

P_1(x) = Ax+B

mentre

Q_1(x) = C x+D

L'equazione particolare è del tipo:

y_p(x) = x[(A x+B)cos(x)+(Cx+D)sin(x)]

Dobbiamo determinare A,B, C e D per farlo, deriviamo due volte la soluzione particolare:

y_p''(x) = (-Ax^2+4C-Bx+2A+D)cos(x)+(-C x^2-Dx-4A x-2B+2C)sin(x)

Sostituendo nella equazione differenziale otteniamo:

y_p''(x)+y_p(x) = (2A+2D+4Cx)cos(x)+(-2B+2C-4Ax)sin(x)

Confrontando la funzione ottenuta con x cos(x) otteniamo:

(2A+2D+2Cx)cos(x)+(-4A x+2C-2B)sin(x) = xcos(x)

Confrontando le due funzioni possiamo costruire il sistema:

(2A+2D+4C x) = x ;-4Ax+2C-2B = 0

Per il principio di identità dei polinomi abbiamo:

4C = 1 ; 2A+2D = 0 ;-4A = 0 ; 2C-2B = 0

Il sistema ha per soluzione:

A = 0, B = (1)/(4), C = (1)/(4), D = 0

Dunque:

y_p(x) = x((1)/(4)cos(x)+(1)/(4)xsin(x))

La famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale del PC è:

y(x) = y_p(x)+y_0(x) =

= x((1)/(4)cos(x)+(1)/(4)xsin(x))+c_1cos(x)+c_2sin(x)

Per determinare le costanti c_1, c_2 imponiamo le condizioni iniziali.

y(0) = c_1 = 0 ⇒

y(x) = x((1)/(4)cos(x)+(1)/(4)xsin(x))+c_2sin(x)

Deriviamo e raggruppiamo:

y'(x) = (1)/(4)[(1+4c_2+x^2)cos(x)+xsin(x)]

y'(0) = (1)/(4)+c_2 = -(3)/(4) ⇒ c_2 = -1

In definitiva la soluzione del problema di Cauchy è:

y(x) = (x)/(4)(cos(x)+xsin(x))-sin(x)

Ammazza che esercizio pallosissimo!! emt

Devi fare moltissimi conti :(
Ringraziano: Omega, Pi Greco, derp, CarFaby, Danielbohh

Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine #15369

avt
robe92
Cerchio
y''+y = xcosx

Se la traccia mi avesse chiesto di svolgere questa equazione differenziale con il metodo della variazione delle costanti come si sarebbe dovuto operare? Vi ringrazio

Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine #15395

avt
kameor
Sfera
Parti dalla soluzione dell'omogenea e la soluzione particolare la cerchi nella forma

y = c_1(x) cos(x)+c_2(x) sen(x)

calcoli la derivata prima

y'= c_1'(x)cos(x)+c_2'(x)sen(x)-c_1(x)sen(x)+c_2(x)cos(x)

imponi la condizione (serve per semplificare i calcoli)

c_1'(x)cos(x)+c_2'(x)sen(x) = 0

quindi calcoli la derivata seconda

y''= c_1'(x)sen(x)+c_2'(x)cos(x)-c_1(x)cos(x)-c_2(x)sen(x)

se sostituisci nell'equazione e semplifichi trovi

-c_1'(x)sen(x)+c_2'(x)cos(x) = x cos(x)

quindi bisogna risolvere il sistema

beginarraylcos(x)c_1'(x)+sen(x)c_2'(x) = 0 ;-sen(x)c_1'(x)+cos(x)c_2'(x) = xcos(x) ; endarray.

che si può scrivere in forma matriciale come

beginbmatrixcos(x) sen(x) ;-sen(x) cos(x) endbmatrix beginbmatrixc_1'(x) ; c_2'(x) endbmatrix = beginbmatrix0 ; x cos(x) endbmatrix

la matrice quadrata si chiama wronskiano, leggi qui per qualche info in più: metodo del Wronskiano.

A questo punto puoi ricavare c_1'(x) e c_2'(x) applicando per esempio la regola di Cramer

Con Cramer eviti di calcolare direttamente la matrice inversa, in realtà in questo caso essendo una matrice 2x2 puoi pure provare a risolvere il sistema a mano, io come risultati ho trovato

c_1'(x) = -sen(x)cos(x)

c_2'(x) = cos^2(x)

quindi tutte funzioni integrabili senza troppo sforzo sfruttando le formule di duplicazione del seno e del coseno

c_1(x) = ∫-sen(x)cos(x) dx = ∫-(1)/(2)sen(2x) dx = (1)/(4) cos(2x)

c_2(x) = ∫ cos^2(x) dx = (1)/(4)sen(2x)+(x)/(2)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine #15398

avt
kameor
Sfera
Comunque le soluzioni corrette dovrebbero essere

c_1'(x) = -xsen(x)cos(x)

c_1'(x) = xcos^2(x)

prima avevo dimenticato la x ^^
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine #15401

avt
robe92
Cerchio
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Vorrei capire nei tuoi calcoli, precisamente al punto citato:

kameor ha scritto:
imponi la condizione (serve per semplificare i calcoli)

c_1'(x)cos(x)+c_2'(x)sen(x) = 0

Cosa intendi per "serve per semplificare i calcoli"? Perché imponi quella quantità uguale a zero?

Poi, una volta che ottieni le soluzioni derivate dal sistema prodotto della matrice wronskiana per il vettore colonna delle derivate delle due funzioni C'_1 e C'_2

kameor ha scritto:
beginbmatrixcos(x) sen(x) ;-sen(x) cos(x) endbmatrix

Si può dire che le soluzioni trovate C_1 e C_2 dalla integrazione sono linearmente indipendenti in conseguenza al fatto che derivano dalla matrice wronskiana che, in questo caso, non è singolare?

Vi ringrazio

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine #15438

avt
kameor
Sfera
robe92 ha scritto:
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Vorrei capire nei tuoi calcoli, precisamente al punto citato:
kameor ha scritto:
imponi la condizione (serve per semplificare i calcoli)
c_1'(x)cos(x)+c_2'(x)sen(x) = 0

Cosa intendi per "serve per semplificare i calcoli"? Perché imponi quella quantità uguale a zero?


siccome hai due gradi di libertà:

c_1(x) e c_2(x)

allora si possono imporre al massimo 2 vincoli, un vincolo è necessario e serve ad imporre che la funzione sia soluzione dell'equazione differenziale mentre l'altro vincolo si può scegliere a piacimento e fa comodo perchè consente di eliminare qualche termine e quindi di risparmiare diversi calcoli.

Poi, una volta che ottieni le soluzioni derivate dal sistema prodotto della matrice wronskiana per il vettore colonna delle derivate delle due funzioni C'_1 e C'_2
kameor ha scritto:

beginbmatrixcos(x) sen(x) ;-sen(x) cos(x) endbmatrix

Si può dire che le soluzioni trovate C_1 e C_2 dalla integrazione sono linearmente indipendenti in conseguenza al fatto che derivano dalla matrice wronskiana che, in questo caso, non è singolare?

Vi ringrazio

sinceramente non so se c_1 e c_2 vengano sempre indipendenti utilizzando quel metodo, ma considera che anche se non lo fossero non cambierebbe assolutamente nulla, infatti quelle due funzioni servono ad identificare solamente una particolare soluzione dell'equazione che una volta trovata rimane fissa e non viene moltiplicata per altri coefficienti semplicemente si somma cosi com'è alla soluzione dell'omogenea.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, vincenz0
  • Pagina:
  • 1
Os