Calcolo massimi e minimi in un dominio (2 variabili)

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Calcolo massimi e minimi in un dominio (2 variabili) #15113

avt
MINODIK
Banned
Ciao a tutti e complimenti per il sito emt La mia prof sta facendo il calcolo di max e min di una funzione in 2 variabili in un dominio. Il problema è che la prof non usa il metodo di Lagrange, ma studia la funzione sulla frontiera.

Mi potete dire i procedimenti da fare?
Grazie
 
 

Re: Calcolo massimi e minimi in un dominio (2 variabili) #15116

avt
Omega
Amministratore
Ciao Minodik, benvenuto in YouMath emt

Il procedimento da seguire nello studio dei massimi e minimi vincolati di una funzione di più variabili dipende dal vincolo e da come viene espresso.

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si applica nei problemi di max/min vincolati con vincolo espresso in forma di luogo di zeri, e si può utilizzare anche nel caso in cui la funzione sia soggetta a più vincoli.

Naturalmente questo non è l'unico modo di procedere: se ad esempio abbiamo a che fare con un vincolo dall'espressione analitica semplice, talvolta è possibile valutare la funzione direttamente sul vincolo e ridurne il numero di variabili, effettuando in seguito uno studio standard dei massimi e dei minimi.

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange viene descritto, insieme ai vari metodi che si possono usare (a seconda dei casi) qui: massimi e minimi vincolati.
Buona lettura!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Re: Calcolo massimi e minimi in un dominio (2 variabili) #15128

avt
MINODIK
Banned
Grazie mille!!! Posso chiederti qualche esercizio svolto sullo studio di max e min assoluti lungo la frontiera?
Grazie ancora

Re: Calcolo massimi e minimi in un dominio (2 variabili) #15138

avt
Omega
Amministratore
Certamente, prima però riepilogo velocemente il metodo, giusto per prepararti ad affrontare gli esercizi. emt


Ci limitiamo dunque a considerare il caso in cui il dominio sia espresso in forma insiemistica mediante disequazioni, e sia un chiuso (in caso contrario non avrebbe senso parlare di frontiera e non sarebbe neppure possibile garantire l'esistenza di un max e un min assoluti, dato che non potremmo applicare il teorema di Weierstrass).

Mettiamoci nel caso di una funzione di due variabili

f:D\subseteq \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}

della quale vogliamo determinare i punti estremanti vincolati ad un insieme E\subseteq D, definito da disequazioni, ad esempio della forma

E:=\{(x,y)\in D\mbox{ t.c. }G_{i}(x,y)\leq c\mbox{ , }i\in I\}

con I un insieme di indici finito.

In generale si procede alla ricerca dei massimi/minimi liberi di f e si considerano solamente i punti di massimo/minimo che soddisfano le condizioni che definiscono D, vale a dire: che appartengono a D.

Questo però non basta, e qui veniamo nello specifico alla tua domanda.

Dato che per noi D è un chiuso possiamo considerarne la frontiera. Ora dobbiamo distinguere tra due casi:

1) se la frontiera è espressa in forma esplicita, i.e. y=g(x) puoi valutare direttamente la funzione sulla frontiera. La funzione f(x,y) si riduce così, sulla frontiera, ad una funzione di una variabile: f(x,g(x)). Studiane i punti estremanti x_i, e poi confronta tali punti estremanti (x_i,g(x_i)) con i punti estremanti precedentemente determinati.

2) determina una parametrizzazione della frontiera e procedi come nel punto 1). Esempi:

/forum/analisi-2n/8833-massimi-e-minimi-di-una-funzione-di-due-variabili-su-un-insieme-compatto.html

/domande-a-risposte/view/3748-massimi-e-minimi-assoluti.html

/forum/analisi-2n/7277-massimi-e-minimi-assoluti-vincolati-ad-un-triangolo-funzione-di-due-variabili.html

3) Fontiere "semplici". Procedi per valutazione diretta. Esempio

/domande-a-risposte/view/3914-massimi-e-minimi-assoluti.html

4) Frontiere definite in forma implicita. Usa Lagrange con l'equazione della frontiera. Esempio

/forum/analisi-2n/6908-esercizio-massimi-e-minimi-vincolati-con-lagrange.html

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Questi sono solo alcuni esempi, ne puoi trovare tanti altri...emt
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