Due problemi di Cauchy

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Due problemi di Cauchy #15056

avt
Ciccio7
Banned
salve ragazzi, non riesco a risolvere questi problemi di Cauchy, sono sicuro che sono tutti di facile soluzione, ma non riesco proprio a risolverli, probabilmente sbaglio in qualche passaggio...
per questo vi chiedo di spiegarmi come fare per arrivare alla soluzione finale.
grazie mille a tutti.

(1)
| y'(x)= 1/f(x,y)
| y(1)= √2/2
con f(x,y)= xcosy
(2)
|y'(x)= f(x,y) cosy
|y(0)= 1

con f(x,y)= cosy* e^(x)
 
 

Re: Due problemi di Cauchy #15060

avt
Ifrit
Amministratore
Cominciamo con il primo problema di Cauchy:

\begin{cases}y'= \frac{1}{x\cos(y)}\\ y(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

La funzione al secondo membro, è definita quando x\ne 0 e y\ne \frac{(2n-1)\pi }{2}\quad n\in \mathbb{Z}

Ora poiché il punto iniziale giace nell'insieme (0, +\infty)\times\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), esso sarà il nostro insieme di riferimento.

Iniziamo separando le variabili:

\int\cos(y(x)) y'(x)dx= \int \frac{1}{x}dx

Risolviamo il primo integrale:

\iny\cos(y(x))y'(x)dx

poniamo y(x)=t\implies y'(x)dx= dt

l'integrale diventa:

\int \cos(t)dt= \sin(t)+c_1

\int\cos(y(x))y'(x)dx= \sin(y(x))+c_1


Mentre il secondo integrale è immediato:

\int \frac{1}{x}dx= \ln|x|+c_2


Otterremo quindi l'equazione:

\sin(y(x))= \ln|x|+c\quad c= c_1-c_2

Ora osserva che x>0 quindi il modulo del valore assoluto è del tutto inutile:

\sin(y(x))= \ln(x)+c

A questo punto imponiamo le condizioni iniziali:

\sin(y(1))=c\iff c=\sin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Abbiamo determinato la costante c.


\sin(y(x))= \ln(x)+\sin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

A questo punto ricorda che y appartiene a \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), quindi la funzione seno è invertibile e la sua inversa è arcsin conseguentemente:

y(x)= \arcsin\left(\ln(x)+\sin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)

e l'intervallo massimale è dato dalla risoluzione delle disequazioni:

-1<\ln(x)+\sin\frac{\sqrt{2}}{2}<1

Il primo è andato emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Due problemi di Cauchy #15064

avt
Ifrit
Amministratore
Procediamo con il secondo:

\begin{cases}y'=\cos^2(y)e^{x}\\y(0)=1\end{cases}

Ci troviamo di fronte ad un problema di Cauchy in cui l'equazione differenziale è a variabili separabili.

Troviamo le soluzioni costanti:

\cos^2(y)=0\iff y=(2n-1)\frac{\pi}{2}\qquad n\in\mathbb{Z}

Ora per nessun n y=1 quindi le soluzioni costanti trovate non soddisfano le condizioni iniziali. In tal caso l'insieme nel quale andremo a studiare l'equazione differenziale è:

(-\infty, +\infty)\times \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Separiamo le variabili ottenendo:

\int \frac{y'(x)}{\cos^2(y(x))}dx= \int e^xdx

Il primo integrale si risolve per sostituzione ponendo

t= y(x)\implies dt= y'(x)dx

L'integrale diventa:

\int \frac{1}{\cos^2(t)}dt=\tan(t)+c_1

tornando in y abbiamo

\int \frac{y'(x)}{\cos^2(y(x))}dx= \tan(y(x))+c_1

mentre il secondo:

\int e^xdx= e^x+c_2

otteniamo l'equazione:

\tan(y(x))= e^x+c\qquad c=c_2-c_1

Adesso imponendo la condizione iniziale:

\tan(y(0))= c+1\iff c= \tan(1)-1

Quindi l'equazione diventa:

\tan(y(x))= e^x+\tan(1)-1

Poiché y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) la funzione tan è invertibile e in tale intervallo la sua inversa è arctan.

Possiamo concludere che:

y(x)= \arctan(e^x+\tan(1)-1)

Se ci sono errori mi raccomando avvertimi emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ciccio7

Re: Due problemi di Cauchy #15108

avt
Ciccio7
Banned
ti ringrazio Ifrit sei stato davvero molto chiaro.
GRAZIE!
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Os