Estremi di integrazione in un integrale doppio di una funzione in modulo

Ho un problema nel determinare gli estremi di integrazione per un integrale doppio con un valore assoluto, e di posizionarli nel modo corretto.

Questo è l'integrale:



Ho pensato di determinare solamente dal quale trovo:



Dopo di ciò ho disegnato il grafico del quadrato e della retta, che passa per .

Non riesco a capire come mettere gli estremi di integrazione e non capisco dove è positiva e dove è negativa.
Non capisco il ragionamento che devo fare per capire dove è positiva e negativa.

Potete aiutarmi?

Ciao Marcolino87

Nel ragionamento è tutto ok, puoi anche eliminare sin da subito il segno meno interno al modulo (proprio perché c'è un modulo)



Dato che, come hai osservato, il modulo su può eliminare a patto di specificare il segno dell'argomento del modulo stesso



e quindi la funzione assume questa forma nella regione di piano situata al di sopra della retta



e quindi la funzione assume questa forma nella regione di piano situata al di sotto della retta .

Prima di spezzare l'integrale doppio, però, notiamo che è più comodo integrare prima rispetto a (cioè lungo linee orizzontali) e poi rispetto a : questo perché, così facendo, potremo mantenere come estremi di integrazione per



Per fare ciò, però, dobbiamo scrivere la retta nella forma



quindi



Ecco fatto.

Grazie per la risposta, ma non riesco a capire una cosa: se io per determinare il modulo porto il segno meno dentro le parentesi tonde e lo faccio diventare dal quale trovo:



Dopo di ciò ho disegnato il grafico del quadrato e della retta, la retta passa tra .

Ora per la capire dove è positiva e dove è negativa rispetto la retta, per mettere bene gli estremi di integrazione, posso prendere dei punti in base al grafico per determinarlo, oppure posso seguire altri metodi?

Vorrei capire bene perché y è negativa tra e positiva tra .

Scusami se ti faccio queste domande ma sono vicino all'esame e ho 1000 dubbi al riguardo gli estremi di integrazione...

Grazie ancora

Occhio a non confondere le cose: qui ci sono due punti da mettere in chiaro, di cui il primo è subordinato, nella fattispecie, al secondo.


1) Come capire quale regione di piano individua una disequazione della forma



per capirlo, basta riscrivere la disequazione in forma esplicita



Questa rappresenta una ben precisa condizione sui punti : l'equazione individua la retta stessa, che divide il piano in due regioni.

La precedente disequazione individua tutti i punti con ordinata maggiore dell'ordinata sulla retta.

Per farla breve: le soluzioni della precedente disequazione sono tutti e soli i punti che si trovano al di sopra della retta .

Poi, quella disequazione puoi rigirarla un po' come ti pare, ad esempio rendendo esplicita la variabile , ma i punti che essa individua non cambiano.

Un discorso del tutto analogo vale per le disequazioni della forma



e per approfondire la faccenda ti rimando alla lezione sulle disequazioni a due incognite.


2) Per quanto riguarda il valore assoluto



si può eliminare semplicemente applicando la definizione stessa di modulo, e nel toglierlo bisognerà specificare il segno dell'argomento a seconda che esso sia negativo o positivo. Questo perché il modulo è, per definizione, sempre positivo!

Quindi