Estremi di integrazione in un integrale doppio di una funzione in modulo

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Estremi di integrazione in un integrale doppio di una funzione in modulo #12894

avt
marcolino87
Cerchio
Ho un problema nel determinare gli estremi di integrazione per un integrale doppio con un valore assoluto, e di posizionarli nel modo corretto.

Questo è l'integrale:

∫∫_([0,2]×[0,1])|-xy(3x+2y-2)|dxdy

Ho pensato di determinare solamente |-3x-2y+2| dal quale trovo:

 a) -3x-2y+2 ≥ 0 y ≤ 1-(3)/(2)x ; b) -3x-2y+2 ≤ 0 y ≥ 1-(3)/(2)x

Dopo di ciò ho disegnato il grafico del quadrato e della retta, che passa per (0,1) e ((2)/(3),0).

Non riesco a capire come mettere gli estremi di integrazione e non capisco dove è positiva e dove è negativa.
Non capisco il ragionamento che devo fare per capire dove è positiva e negativa.

Potete aiutarmi?
 
 

Estremi di integrazione in un integrale doppio di una funzione in modulo #12964

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marcolino87 emt

Nel ragionamento è tutto ok, puoi anche eliminare sin da subito il segno meno interno al modulo (proprio perché c'è un modulo)

 ∫∫_([0,2]×[0,1])|-xy(3x+2y-2)|dxdy = ∫∫_([0,2]×[0,1])xy|3x+2y-2|dxdy =

Dato che, come hai osservato, il modulo su può eliminare a patto di specificare il segno dell'argomento del modulo stesso

 Se +3x+2y-2 ≥ 0 → y ≥ 1-(3)/(2)x allora ; xy|3x+2y-2| = xy(3x+2y-2)

e quindi la funzione assume questa forma nella regione di piano situata al di sopra della retta y = 1-(3)/(2)x

 Se +3x+2y-2 ≤ 0 → y ≤ 1-(3)/(2)x allora ; xy|3x+2y-2| = -xy(3x+2y-2)

e quindi la funzione assume questa forma nella regione di piano situata al di sotto della retta y = 1-(3)/(2)x.

Prima di spezzare l'integrale doppio, però, notiamo che è più comodo integrare prima rispetto a x (cioè lungo linee orizzontali) e poi rispetto a y: questo perché, così facendo, potremo mantenere come estremi di integrazione per y

0 ≤ y ≤ 1

Per fare ciò, però, dobbiamo scrivere la retta nella forma

x = (2)/(3)-(2)/(3)y

quindi

∫_(0)^(1)[∫_(0)^((2)/(3)-(2)/(3)y)(-xy(3x+2y-2))dx+∫_((2)/(3)-(2)/(3)y)^(2)xy(3x+2y-2)dx]dy

Ecco fatto.
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, marcolino87

Re: Estremi di integrazione in un integrale doppio di una funzione in modulo #12970

avt
marcolino87
Cerchio
Grazie per la risposta, ma non riesco a capire una cosa: se io per determinare il modulo porto il segno meno dentro le parentesi tonde e lo faccio diventare |-3x-2y+2| dal quale trovo:

 a) -3x-2y+2 ≥ 0 y ≤ 1-(3)/(2)x ; b) -3x-2y+2 ≤ 0 y ≥ 1-(3)/(2)x

Dopo di ciò ho disegnato il grafico del quadrato e della retta, la retta passa tra (0,1) e ((2)/(3),0).

Ora per la capire dove è positiva e dove è negativa rispetto la retta, per mettere bene gli estremi di integrazione, posso prendere dei punti in base al grafico per determinarlo, oppure posso seguire altri metodi?

Vorrei capire bene perché y è negativa tra [0;(2)/(3)-(2)/(3)y] e positiva tra [(2)/(3)-(2)/(3)y;2].

Scusami se ti faccio queste domande ma sono vicino all'esame e ho 1000 dubbi al riguardo gli estremi di integrazione...

Grazie ancora

Re: Estremi di integrazione in un integrale doppio di una funzione in modulo #12982

avt
Omega
Amministratore
Occhio a non confondere le cose: qui ci sono due punti da mettere in chiaro, di cui il primo è subordinato, nella fattispecie, al secondo.


1) Come capire quale regione di piano individua una disequazione della forma

ax+by+c > 0

per capirlo, basta riscrivere la disequazione in forma esplicita

y > mx+q

Questa rappresenta una ben precisa condizione sui punti (x,y): l'equazione y = mx+q individua la retta stessa, che divide il piano in due regioni.

La precedente disequazione individua tutti i punti (x,y) con ordinata y maggiore dell'ordinata sulla retta.

Per farla breve: le soluzioni della precedente disequazione sono tutti e soli i punti che si trovano al di sopra della retta y = mx+q.

Poi, quella disequazione puoi rigirarla un po' come ti pare, ad esempio rendendo esplicita la variabile x, ma i punti che essa individua non cambiano.

Un discorso del tutto analogo vale per le disequazioni della forma

ax+by+c < 0

e per approfondire la faccenda ti rimando alla lezione sulle disequazioni a due incognite.


2) Per quanto riguarda il valore assoluto

|ax+by+c|

si può eliminare semplicemente applicando la definizione stessa di modulo, e nel toglierlo bisognerà specificare il segno dell'argomento a seconda che esso sia negativo o positivo. Questo perché il modulo è, per definizione, sempre positivo!

Quindi

|ax+by+c| = -(ax+by+c) se ax+by+c < 0 ; ax+by+c se ax+by+c > 0
Ringraziano: Pi Greco, frank094, marcolino87
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