Problema di Cauchy del secondo ordine con x+cos(x)

Salve, avrei bisogno del vostro aiuto per capire il ruolo della molteplicità in questo problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti:



Come posso procedere?

Ciao Dade

L'equazione differenziale, con BC (board conditions), è



e la soluzione dell'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti associata



è proprio



Per determinare una soluzione particolare dell'equazione possiamo applicare il metodo di somiglianza



si può (e si deve!) determinare una soluzione particolare dell'equazione



e una soluzione particolare di



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Nel primo caso, cerchiamo una soluzione della forma



nel secondo, invece, cerchiamo una soluzione della forma



in sintesi, la soluzione particolare dell'equazione sarà della forma



Se ne calcoliamo la derivata seconda



e sostituiamo nell'equazione differenziale otteniamo



cioè



dobbiamo richiedere che

per cui la soluzione particolare di è data da



e la soluzione generale dell'equazione differenziale è



Imponendo le condizioni al bordo si determinano le costanti , e sostituendo le costanti nella soluzione generale si determina la soluzione del problema di Cauchy considerato

Benissimo, ottima spiegazione (come sempre)!