Problema di Cauchy del secondo ordine con x+cos(x)

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Problema di Cauchy del secondo ordine con x+cos(x) #12571

avt
dade
Visitatore
Salve, avrei bisogno del vostro aiuto per capire il ruolo della molteplicità in questo problema di Cauchy con equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti:

y''+4y = x+cos(x) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 1

Come posso procedere?
 
 

Problema di Cauchy del secondo ordine con x+cos(x) #12639

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dade emt

L'equazione differenziale, con BC (board conditions), è

y''+4y = x+cos(x) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 1

e la soluzione dell'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti associata

y''+4y = 0

è proprio

y(x) = c_1cos(2x)+c_2sin(2x)

Per determinare una soluzione particolare dell'equazione possiamo applicare il metodo di somiglianza

y''+4y = x+cos(x) •

si può (e si deve!) determinare una soluzione particolare dell'equazione

y''+4y = x

e una soluzione particolare di

y''+4y = cos(x)

---

Nel primo caso, cerchiamo una soluzione della forma

y(x) = a_1+a_2x

nel secondo, invece, cerchiamo una soluzione della forma

y(x) = a_3cos(x)+a_4sin(x)

in sintesi, la soluzione particolare dell'equazione • sarà della forma

y(x) = a_1+a_2x+a_3cos(x)+a_4sin(x)

Se ne calcoliamo la derivata seconda y''(x)

y''(x) = -a_3cos(x)-a_4sin(x)

e sostituiamo y''(x),y(x) nell'equazione differenziale otteniamo

-a_3cos(x)-a_4sin(x)+4a_1+4a_2x+4a_3cos(x)+4a_4sin(x) = x+cos(x)

cioè

3a_3cos(x)+3a_4sin(x)+4a_1+4a_2x = x+cos(x)

dobbiamo richiedere che a_1 = 0,a_2 = (1)/(4),a_3 = (1)/(3),a_4 = 0

per cui la soluzione particolare di • è data da

y(x) = (1)/(4)x+(1)/(3)cos(x)

e la soluzione generale dell'equazione differenziale è

y(x) = c_1cos(2x)+c_2sin(2x)+(1)/(4)x+(1)/(3)cos(x)

Imponendo le condizioni al bordo y(0) = 0,y'(1) = 0 si determinano le costanti c_1,c_2, e sostituendo le costanti nella soluzione generale si determina la soluzione del problema di Cauchy considerato emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Problema di Cauchy del secondo ordine con x+cos(x) #12655

avt
dade
Visitatore
Benissimo, ottima spiegazione (come sempre)!
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Os