Integrali tripli con cambio variabile

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Integrali tripli con cambio variabile #11225

avt
piapaf
Punto
Ciao. Vorrei sottoporvi alcuni integrali tripli da calcolare con i cambiamenti di variabile principali, che mi stanno creando non poche difficoltà.

Ringrazio Omega per il permesso accordato per postare più esercizi in una stessa discussione. Spero che sia utile a chi come me ha problemi con gli integrali tripli...i casi ostici sono i seguenti, non capisco proprio quale cambiamento di coordinate vada scelto.

\\ \int\int\int_{D}{dxdydz}\\ \\ D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq ze^{z^2-1}\mbox{, }0\leq z\leq 1\}\\ \\ \\ \int\int\int_{D}{(x^2+z)dxdydz}\\ \\ D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq z\leq 4\}\\ \\ \\ \int\int\int_{D}{ze^{x^2+y^2}dxdydz}\\ \\ D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq z\leq 1\}\\ \\ \\ \int\int\int_D{(\sqrt{x^2+y^2}-z)dx dy dz}\\ \\ D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. } x^2+y^2+z^2 \leq 1\mbox{, }x^2+y^2 \leq z^2\}
Ringraziano: Giugiu93, Ludacris, Slapp
 
 

Integrali tripli con cambio variabile #11230

avt
Omega
Amministratore
Ciao Piapaf,

come stiamo messi in quanto a Jacobiani di cambiamenti di variabili, coordinate sferiche e coordinate cilindriche?
Ringraziano: cxntx

Integrali tripli con cambio variabile #11232

avt
piapaf
Punto
Abbastanza bene, sono riuscita a risolverne altri di esercizi, ma qua mi riesce difficile trovare il giusto cambio di coordinate, sopratutto per quanto riguarda gli angoli.

Integrali tripli con cambio variabile #11234

avt
Omega
Amministratore
Indico subito i cambiamenti di coordinate che utilizzeremo e i relativi Jacobiani:

COORDINATE CILINDRICHE

\left\{\begin{matrix}x=\rho\cos{(\theta)}\\ y=\rho\sin{(\theta)}\\ z=z\end{matrix}

con \rho\in [0,r] raggio e \theta\in [0,2\pi].

Jacobiano: dxdydz\to \rho d\rho d\theta dz

Quando usare le coordinate cilindriche? Quando nella definizione del dominio o nell'integranda compaiono termini della forma x^2+y^2, che in coordinate cilindriche diventa \rho^2 grazie all'identità fondamentale della trigonometria e nel contempo compaiono termini del tipo: z.

COORDINATE SFERICHE

\left\{\begin{matrix}x=\rho\sin{(\theta)}\cos{(\varphi)}\\ y=\rho\sin{(\theta)}\sin{(\varphi)}\\ z=\rho\cos{(\theta)}\end{matrix}

con \rho\in [0,r] raggio e \varphi\in [0,2\pi] angolo equatoriale, \theta\in [0,\pi] angolo polare.

Jacobiano: dxdydz\to \rho^2\sin{(\theta)}

Quando usare le coordinate sferiche? Quando nell'integrale il dominio ha una simmetria di tipo sferico, ossia compaiono disuguaglianze contenenti x^2+y^2+z^2 che in coordinate sferiche diventa \rho^2, oppure quando l'integranda contiene termini della forma x^2+y^2+z^2 oppure x^2+y^2 e z^2.

---

Consideriamo il primo integrale:

\int\int\int_{D}{dxdydz}

con dominio di integrazione

D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq ze^{z^2-1}\mbox{, }0\leq z\leq 1\}

e passiamo ad un riferimento di coordinate cilindriche: l'integrale diventa

\int\int\int_{D'}{\rho d\rho d\theta dz}

e le condizioni che definiscono il dominio di integrazione diventano

x^2+y^2\leq ze^{z^2+1}\mbox{ }\to\mbox{ }\rho^2\leq ze^{z^2+1}

0\leq z\leq 1 resta invariata

La prima condizione si riscrive naturalmente nella forma

-\sqrt{ze^{z^2+1}}\leq \rho\leq +\sqrt{ze^{z^2+1}}

MA la variabile \rho è non negativa (maggiore-uguale a zero) nel riferimento sferico, quindi dovremo prendere solamente

0\leq \rho\leq +\sqrt{ze^{z^2+1}}

e per quanto riguarda l'angolo \theta? Non ci sono vincoli, quindi molto semplicemente

0\leq \theta\leq 2\pi

L'integrale da calcolare è dunque

\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{ze^{z^2+1}}}{\rho d\rho d\theta dz}

non dovrebbero esserci problemi con i calcoli...

---

Intanto ci occupiamo del secondo:

\int\int\int_{D}{(x^2+z)dxdydz}

con dominio di integrazione

D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq z\leq 4\}

Neanche a farlo apposta, anche qui conviene passare ad un riferimento di coordinate clindriche: emt l'integrale diventa

\int\int\int_{D'}{(\rho^2\cos^2{(\theta)}+z)\rho d\rho d\theta dz}

Per quanto riguarda l'insieme di integrazione, le condizioni che definiscono il dominio D sono

x^2+y^2\leq z\leq 4

dunque in coordinate cilindriche

\rho^2\leq z\leq 4

L'angolo \theta non è soggetto a vincoli, cosicché

0\leq \theta\leq 2\pi

Il punto è che la prima condizione scritta così com'è non è granché utile. L'ideale sarebbe disaccoppiare \rho,z: per farlo, ci ricordiamo che in coordinate cilindriche \rho\geq 0, e quindi possiamo scrivere

\rho^2\leq z\leq 4

0\leq \rho\leq 2

In questo modo l'integrale da calcolare si scrive come

\int_0^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{\rho^2}^4{(\rho^2\cos^2{(\theta)}+z)\rho dz d\rho d\theta}

---

Per il terzo integrale vale un discorso molto simile al precedente:

\int\int\int_{D}{ze^{x^2+y^2}dxdydz}

con dominio di integrazione

D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq z\leq 1\}

Facciamo ricorso, ancora una volta, alle coordinate cilindriche:

\int\int\int_{D'}{ze^{\rho^2}\rho d\rho d\theta dz}

Esattamente come nel caso del secondo integrale, passando a considerare il cambiamento del dominio di integrazione

x^2+y^2\leq z\leq 1

diventa

\rho^2\leq z\leq 1

Ancora una volta l'angolo \theta non è soggetto a vincoli, cosicché

0\leq \theta\leq 2\pi

e per quanto riguarda il disaccoppiamento della prima condizione

\rho^2\leq z\leq 1

0\leq \rho\leq 1

L'integrale diventa quindi

\int_0^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{\rho^2}^1{z\rho e^{\rho^2} dz d\rho d\theta}

---

Per quanto riguarda l'ultimo integrale

\int\int\int_D{(\sqrt{x^2+y^2}-z)dx dy dz}

con dominio di integrazione

D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. } x^2+y^2+z^2 \leq 1\mbox{, }x^2+y^2 \leq z^2\}

(rullo di tamburi...) passiamo ad un riferimento di coordinate cilindriche emt (quindi le coordinate sferiche che ho citato nel mio primo post restano solamente a titolo di cronaca emt ). L'integrale diventa

\int\int\int_{D'}{(\sqrt{\rho^2}-z)\rho d\rho d\theta dz}

ossia

\int\int\int_{D'}{(\rho^2-z\rho) d\rho d\theta dz}

per quanto riguarda l'insieme di integrazione, abbiamo le due condizioni

x^2+y^2+z^2 \leq 1\mbox{, }x^2+y^2 \leq z^2

che in coordinate cilindriche diventano

\rho^2+z^2 \leq 1\mbox{, }\rho^2 \leq z^2

o equivalentemente

z^2\leq 1-\rho^2\mbox{, }z^2 \geq \rho^2

Ne deduciamo che

\rho^2 \leq z^2\leq 1-\rho^2

estraendo le radici quadrate (e ricordando che in coordinate cilindriche \rho\geq 0)

\rho \leq z\leq \sqrt{1-\rho^2}

La condizione su \rho la ricaviamo considerando le condizioni di esistenza della radice quadrata:

1-\rho^2\geq 0\to -1\leq \rho\leq +1\to 0\leq \rho\leq +1

Non basta, però: dobbiamo prendere \rho in modo tale che

\rho\leq \sqrt{1-\rho^2}

da cui si ricava

0\leq \rho\leq +\frac{1}{\sqrt{2}}

Per quanto riguarda l'angolo \theta, non abbiamo alcuna limitazione:

0\leq \theta\leq 2\pi

In definitiva, l'integrale da calcolare è

\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{\rho}^{\sqrt{1-\rho^2}}{(\rho^2-z\rho) dzd\rho d\theta }

ed ecco fatto: se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, matteo, DurdenP, CarFaby, Ludacris, Mimma, danielnappi

Integrali tripli con cambio variabile #11368

avt
piapaf
Punto
Grazie mille, davvero! emt

E se invece avessi

\int\int\int_{D}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz}

D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2+z^2\leq 1\mbox{, }z^2-x^2-y^2\leq 0\mbox{, }z\geq 0\}

come dovrei fare?
Ringraziano: Geccy97

Integrali tripli con cambio variabile #11375

avt
Omega
Amministratore
L'integrale

\int\int\int_{D}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz}

con dominio di integrazione

D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2+z^2\leq 1\mbox{, }z^2-x^2-y^2\leq 0\mbox{, }z\geq 0\}

conviene risolverlo passando alle coordinate sferiche, per le quali l'integrale diventa

\int\int\int_{D'}{\sqrt{\rho^2}\rho^2\sin{(\theta)} d\rho d\theta d\varphi}

\int\int\int_{D'}{\rho^3\sin{(\theta)} d\rho d\theta d\varphi}

per quanto riguarda l'insieme di integrazione, abbiamo in coordinate cartesiane le condizioni

x^2+y^2+z^2\leq 1\mbox{, }z^2-x^2-y^2\leq 0\mbox{, }z\geq 0

ossia

x^2+y^2+z^2\leq 1\mbox{, }z^2\leq x^2+y^2\mbox{, }z\geq 0

che diventano, nel riferimento sferico

\rho^2\leq 1\mbox{, }\rho^2\cos{(\theta)}\leq \rho^2\sin{(\theta)}\mbox{, }\rho\cos{(\theta)}\geq 0

Al solito \rho\geq 0 in coordinate sferiche, cosicché

0\leq \rho\leq +1\mbox{, }\cos{(\theta)}\leq \sin{(\theta)}\mbox{, }\cos{(\theta)}\geq 0

In particolare l'angolo \varphi non è soggetto a limitazioni, per cui

0\leq \varphi\leq 2\pi

mentre per determinare l'insieme di variabilità di \theta risolviamo il sistema

\left\{\begin{matrix}\cos{(\theta)}\geq 0\\ \sin{(\theta)\geq \cos{(\theta)}}\end{matrix}

che ha soluzioni

\frac{\pi}{4}\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}

L'integrale da calcolare è quindi

\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\rho^3\sin{(\theta)}  d\theta d\rho d\varphi}

Ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, CarFaby, byzio, LucaSupremacy92, kratos922, Lomman, bbkain, Mimma...

Re: Integrali tripli con cambio variabile #74792

avt
lucsrx
Punto
Omega ha scritto:
Intanto ci occupiamo del secondo:

\int\int\int_{D}{(x^2+z)dxdydz}

con dominio di integrazione

D:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq z\leq 4\}

Neanche a farlo apposta, anche qui conviene passare ad un riferimento di coordinate clindriche: emt l'integrale diventa

\int\int\int_{D'}{(\rho^2\cos^2{(\theta)}+z)\rho d\rho d\theta dz}

Per quanto riguarda l'insieme di integrazione, le condizioni che definiscono il dominio D sono

x^2+y^2\leq z\leq 4

dunque in coordinate cilindriche

\rho^2\leq z\leq 4

L'angolo \theta non è soggetto a vincoli, cosicché

0\leq \theta\leq 2\pi

Il punto è che la prima condizione scritta così com'è non è granché utile. L'ideale sarebbe disaccoppiare \rho,z: per farlo, ci ricordiamo che in coordinate cilindriche \rho\geq 0, e quindi possiamo scrivere

\rho^2\leq z\leq 4

0\leq \rho\leq 2

In questo modo l'integrale da calcolare si scrive come

\int_0^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{\rho^2}^4{(\rho^2\cos^2{(\theta)}+z)\rho dz d\rho d\theta}


Una domanda che mi tormenta, ma che sicuramente sarà banale: anzichè utilizzare da subito le coordinate polari, potrei prima trovarmi gli estremi di integrazione della z, fare l'integrale in dz e poi ricorrere alle coordinate polari per risolvere l'integrale doppio che mi rimane?

Re: Integrali tripli con cambio variabile #74879

avt
Omega
Amministratore
Certamente. emt

Però devi essere più preciso: se ti riferisci ad un sistema di coordinate in 3 dimensioni, in questo contesto devi parlare di coordinate cilindriche.

Se invece integri prima rispetto a z e dunque passi a lavorare in 2 dimensioni, devi parlare di coordinate polari.

A prescindere dalla nomenclatura, i due modi di procedere sono equivalenti perché le coordinate cilindriche lasciano invariata la variabile z.
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Os