Come risolvere questa equazione differenziale di secondo ordine

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Come risolvere questa equazione differenziale di secondo ordine #9272

avt
David
Cerchio
Ciao a tutti. Potete risolvere perfavore questa equazione differenziale di secondo ordine?

y''+y'+y = 0 con le condizioni:

y(0) = 1
y'(0) = 0
 
 

Re: Come risolvere questa equazione differenziale di secondo ordine #9401

avt
frank094
Sfera
Ciao David, vediamo subito come fare..

beginarrayl l y''(x)+y'(x)+y(x) = 0 ; y(0) = 1 ; y'(0) = 0 endarray .

Possiamo risolvere senza grossi problemi l'equazione differenziale perché si tratta una lineare omogenea. Consideriamo l'equazione di secondo grado associata ad essa:

λ^2+λ+1 = 0

Le soluzioni di questa equazione sono ovviamente

beginarrayl l λ_1 = -(1)/(2)+(i √(3))/(2) ; λ_2 = -(1)/(2)-(i √(3))/(2) endarray .

Le soluzioni sono complesse ma non c'è, in effetti, alcun problema proprio perché possiamo rifarci alla notazione esponenziale; scriviamo intanto la soluzione generale

y(x) = c_1 , e^(-(1)/(2)+(i √(3))/(2))+c_2 , e^(-(1)/(2)-(i √(3))/(2))

L'identità di Eulero ci dice che

e^(α+i ,β) = e^(α) cos(β)+i e^(α) sin(β)

Andando a sostituire e ponendo rispettivamente c_3 = c_1+c_2 e c_4 = i(c_1-c_2) si ottiene

y(x) = c_3 , e^(-(x)/(2)) cos(((√(3))/(2) x))+c_4 , e^(-(x)/(2)) sin(((√(3))/(2) x))

Adesso impostiamo le condizioni per determinare le due costanti..

beginarrayl l y(0) = c_3 = 1 ; y'(0) = 0 endarray .

Sostituiamo c_3 = 1 e poi deriviamo così da avere una funzione più semplice..

y(x) = e^(-(x)/(2)) cos(((√(3))/(2) x))+c_4 , e^(-(x)/(2)) sin(((√(3))/(2) x))

Da cui si ottiene

y'(0) = √(3) c_4-1 = 0 ⇒ c_4 = (√(3))/(3)

La soluzione che vien fuori è quindi

y(x) = e^(-(x)/(2)) cos(((√(3))/(2) x))+(√(3))/(3) , e^(-(x)/(2)) sin(((√(3))/(2) x))

Tutto chiaro emt?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, tittaxxx2127

Re: Come risolvere questa equazione differenziale di secondo ordine #9448

avt
David
Cerchio
L'identità di Eulero ci dice che

e^(α+i ,β) = e^(α) cos(β)+i e^(α) sin(β)


L'identità di Eulero? Potresti spiegarmi di cosa si tratta?

Andando a sostituire e ponendo rispettivamente c_3 = c_1+c_2 e c_4 = i(c_1-c_2) si ottiene


Perchè applichi questa sostituzione?

Re: Come risolvere questa equazione differenziale di secondo ordine #9454

avt
frank094
Sfera
Per quanto riguarda la formula di Eulero ne già ho parlato in questa discussione qualche tempo fa.
Casomai dovessi avere ancora dubbi su tale relazione, non esitare a chiedere emt !

E' una sostituzione per una questione di eleganza; sapendo infatti che entrambe le quantità sono combinazione lineare tra quantità costanti allora posso esprimerle come nuove costanti, no?
In più tale sostituzione ci permette di eliminare un complesso che potrebbe dare parecchio fastidio nella imposizione delle condizioni di esistenza.

Tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, David, Eversor
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Os