Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange

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Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9139

904 Sfera	Salve potete aiutarmi con una dimostrazione della formula di Taylor con resto di Lagrange e con resto di Peano che io possa capire? Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.

Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9158

Ifrit Amministratore	Qui trovi la dimostrazione del teorema di Taylor con resto di Peano, fresca fresca, in realtà appena stampata! Non è facile da capire, ma ci si deve impegnare un pochetto no? Per quanto riguarda la dimostrazione con il resto di Lagrange arriva a momenti.
	Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, 904, CarFaby, TeQuila.

Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9164

904 Sfera	Grazie mille! Dopo un bel po' di fatica l'ho capito finalmente, ora mi rimane solo il resto di Lagrange..

Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9171

Ifrit

Amministratore

Teorema: siano

• $f:(a, b)\longrightarrow \mathbb{R}$ una funzione derivabile

volte in $x_0\in (a, b)$ ;

•

il polinomio di Taylor di grado

generato da

con centro

;

•

la funzione resto.

Se

è derivabile

volte in (a, b) escluso al più

allora esiste $c\in (x_0, x)$ tale che:

$R_{n}(x)=\overbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}^{\mbox{Resto di Lagrangia}}$

Dimostrazione

Senza perdita di generalità supponiamo che

, il caso

è spiccicato.

Definiamo due funzioni ausiliarie (nel senso che mi aiutano nelle notazioni)

$\\ g(x)=f(x)-T_n(x)=\\ \\=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}\\ \\w(x)=(x-x_0)^{n+1}$

Tieni a mente queste funzioni, li userò in modo massiccio! Osserviamo che

(se ci metti

al posto di x nella formula di

, si annullano tutti gli addendi che hanno per fattore

)

inoltre

Questo vale per tutti gli ordini di derivazione della funzione g, compresi tra 1 e l'n-esimo ordine, cioè si ha che:

$g''(x_0)=0, g'''(x_0)=0, ... , g^{(n)}(x_0)=0$

mentre

$g^{(n+1)}(x)= f^{(n+1)}(x)\quad\forall x\in (a, b)$ questo perché

è un polinomio di grado n. La derivata n+1-esima di tale polinomio è zero!

Inoltre abbiamo che:

$\\ w(x_0)= (x_0-x_0)^{n+1}=0\\ \\ w'(x_0)=(n+1)(x_0-x_0)^{n}=0\\ \\ w''(x_0)= (n+1)n (x_0-x_0)^{n-1}=0\\ \\ w'''(x_0)= (n+1)n(n-1)(x-x_0)^{n-2}\\ \\ w^{(n)}(x_0)=(n+1)n(n-1)\cdots 2 (x_0-x_0)=0\\ \\ w^{(n+1)}(x_0)= (n+1)!$

Nell'intervallo

le funzioni g e w soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy infatti:

•

è continua in

, perché differenza di funzioni continue, è derivabile in

perché differenza di funzioni derivabili

•

è una funzione continua in

(funzione polinomiale) e derivabile in

, inoltre $w(x)\ne 0\quad \forall x\in (x_0, x)$

Per il teorema di Cauchy esiste un punto $c_1\in(x_0, x)$ tale che:

$\frac{g(x)-g(x_0)}{w(x)-w(x_0)}=\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}$

Ma attenzione!

così come

quindi la precedente uguaglianza si riduce a

$\frac{g(x)}{w(x)}=\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}$

La cosa figa ora è che sia le funzioni

che

soddisfano il teorema di Cauchy in

pertanto esiste $c_2\in(x_0, c_1)$ tale che:

$\frac{g'(c_1)-g'(x_0)}{w'(c_1)-w'(x_0)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}$

ma attenzione!

così come

quindi la precedente uguaglianza si riduce a

$\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}$

Ma poiché $\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g(x)}{w(x)}$ si ha la catena di uguaglianze:

$\frac{g(x)}{w(x)}=\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}$

Fighissimo!

Procedendo in questo modo per n+1 volte!!! costruiremo una sequenza di n+1 numeri $c_1, c_2, \cdots, c_{n+1}$ tali che

$x_0<c_{n+1}<c_n<\cdots<c_2<c_1$

e che

$\frac{g(x)}{w(x)}= \frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}=\cdots =\frac{g^{(n+1)}(c_{n+1})}{w^{(n+1)}(c_{n+1})}$

Osserva ora che:

$g^{(n+1)}(x)= f^{(n+1)}(x)$

mentre

$w^{(n+1)}(x)= (n+1)!$

(lo abbiamo visto prima!)

Si ha che:

$\frac{g(x)}{w(x)}= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}$

Ora facciamo ci furbi!

mentre

$w(x)= (x-x_0)^{n+1}$

Di conseguenza

$\frac{g(x)}{w(x)}= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}$

diventa:

$\frac{f(x)-T_{n}(x)}{(x-x_0)^{n+1}}= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}$

Da ciò, moltiplicando membro a membro per $(x-x_0)^{n+1}$ segue che:

$f(x)-T_{n}(x)= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

Adesso, ponendo

$\\ R_n(x)= f(x)-T_n(x)\\ \\ \mbox{e}\\ \\ c= c_{n+1}$

Abbiamo che la precedente uguaglianza si riscrive come:

$R_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

Finito!

____
Per chi volesse la spiegazione concettuale relativa agli sviluppi di Taylor - click!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, 904, xavier310, michele90, CarFaby, GIULIOPT95, decafale, TeQuila., RuCoLa...

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43868

Francescaa Punto	Ciao! Intanto ringrazio per questa ottima dimostrazione! Volevo far notare una svista. Quando si calcolano le derivate della funzione w(x) in x con 0, all'ultima riga c'è scritto che la derivata (n+1)-esima è uguale a (n+1)! Ma come poi ha scritto pochi passaggi più avanti (n+1)! è uguale alla derivata (n+1)-esima della w(x) in x e non nel punto x0... Correggetemi se sbaglio, Grazie

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43881

Ifrit

Amministratore

Ciao Francescaa!

La derivata n+1-esima della funzione

$w(x)= (x-x_0)^{n+1}$

è

$w^{(n+1)}(x)= (n+1)!$

Per farti un esempio esplicito, proviamo a calcolare la derivata sesta della funzione

(il principio è lo stesso)

$\\ w'(x)= 6 (x-x_0)^5\\ \\ w''(x)= 6\cdot 5 (x-x_0)^4\\ \\ w'''(x)= 6\cdot 5\cdot 4 (x-x_0)^3\\ \\ w^{(4)}(x)=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 (x-x_0)^2\\ \\ w^{(5)}(x)=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 (x-x_0)\\ \\ w^{(6)}(x)=\overbrace{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}^{6!}$

Da questo esempio (non è una dimostrazione) si comprende appunto che se si deriva n+1 volte una potenza di

, con grado n+1, il risultato è (n+1)!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43885

Francescaa Punto	S' sì su questo non c'è ombra di dubbio. Il mio dubbio ricadeva su $w^{(n+1)}(x)= (n+1)!\quad \forall x\in\mathbb{R}$ come forse erroneamente ha scritto nella dimostrazione. Oppure è corretto? (Il mio dubbio è se la funzione viene calcolata nel punto x con zero)

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43887

Ifrit Amministratore	È corretta in realtà. La derivata n+1-esima della potenza $(x-x_0)^{n+1}$ è $w^{(n+1)}(x)= (n+1)!\quad \forall x\in\mathbb{R}$ Indipendentemente dal valore che x assume, la derivata n+1-esima di w è costante e vale . Possiamo quindi asserire che: $w^{(n+1)}(x_0)= (n+1)!$
	Ringraziano: Omega

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43889

Francescaa Punto	Ah ecco! Allora vale per ogni valore di x! Grazie mille per le spiegazioni! E mi scuso per la mia osservazione errata!

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43892

Ifrit Amministratore	Figurati, non c'è nessun problema!
	Ringraziano: Omega

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