Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange

Salve potete aiutarmi con una dimostrazione della formula di Taylor con resto di Lagrange e con resto di Peano che io possa capire?

Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.

Qui trovi la dimostrazione del teorema di Taylor con resto di Peano, fresca fresca, in realtà appena stampata!

Non è facile da capire, ma ci si deve impegnare un pochetto no?

Per quanto riguarda la dimostrazione con il resto di Lagrange arriva a momenti.

Grazie mille! Dopo un bel po' di fatica l'ho capito finalmente, ora mi rimane solo il resto di Lagrange..

Teorema: siano

• una funzione derivabile volte in ;

• il polinomio di Taylor di grado generato da con centro ;

• la funzione resto.

Se è derivabile volte in (a, b) escluso al più allora esiste tale che:




Dimostrazione

Senza perdita di generalità supponiamo che , il caso è spiccicato.

Definiamo due funzioni ausiliarie (nel senso che mi aiutano nelle notazioni)



Tieni a mente queste funzioni, li userò in modo massiccio! Osserviamo che



(se ci metti al posto di x nella formula di , si annullano tutti gli addendi che hanno per fattore )

inoltre



Questo vale per tutti gli ordini di derivazione della funzione g, compresi tra 1 e l'n-esimo ordine, cioè si ha che:



mentre

questo perché

è un polinomio di grado n. La derivata n+1-esima di tale polinomio è zero!

Inoltre abbiamo che:



Nell'intervallo

le funzioni g e w soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy infatti:

• è continua in , perché differenza di funzioni continue, è derivabile in perché differenza di funzioni derivabili

• è una funzione continua in (funzione polinomiale) e derivabile in , inoltre

Per il teorema di Cauchy esiste un punto tale che:



Ma attenzione!

così come quindi la precedente uguaglianza si riduce a



La cosa figa ora è che sia le funzioni che soddisfano il teorema di Cauchy in pertanto esiste tale che:



ma attenzione!

così come quindi la precedente uguaglianza si riduce a



Ma poiché si ha la catena di uguaglianze:



Fighissimo!

Procedendo in questo modo per n+1 volte!!! costruiremo una sequenza di n+1 numeri tali che



e che



Osserva ora che:



mentre



(lo abbiamo visto prima!)

Si ha che:



Ora facciamo ci furbi!



mentre



Di conseguenza



diventa:



Da ciò, moltiplicando membro a membro per segue che:



Adesso, ponendo



Abbiamo che la precedente uguaglianza si riscrive come:



Finito!

____
Per chi volesse la spiegazione concettuale relativa agli sviluppi di Taylor - click!

Ciao!

Intanto ringrazio per questa ottima dimostrazione! Volevo far notare una svista.

Quando si calcolano le derivate della funzione w(x) in x con 0, all'ultima riga c'è scritto che la derivata (n+1)-esima è uguale a (n+1)!

Ma come poi ha scritto pochi passaggi più avanti (n+1)! è uguale alla derivata (n+1)-esima della w(x) in x e non nel punto x0...

Correggetemi se sbaglio,
Grazie

Ciao Francescaa!

La derivata n+1-esima della funzione



è



Per farti un esempio esplicito, proviamo a calcolare la derivata sesta della funzione (il principio è lo stesso)



Da questo esempio (non è una dimostrazione) si comprende appunto che se si deriva n+1 volte una potenza di , con grado n+1, il risultato è (n+1)!

S' sì su questo non c'è ombra di dubbio. Il mio dubbio ricadeva su



come forse erroneamente ha scritto nella dimostrazione.

Oppure è corretto? (Il mio dubbio è se la funzione viene calcolata nel punto x con zero)

È corretta in realtà. La derivata n+1-esima della potenza è



Indipendentemente dal valore che x assume, la derivata n+1-esima di w è costante e vale . Possiamo quindi asserire che:

Ah ecco! Allora vale per ogni valore di x!

Grazie mille per le spiegazioni! E mi scuso per la mia osservazione errata!

Figurati, non c'è nessun problema!