Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange

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Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9139

avt
904
Sfera
Salve potete aiutarmi con una dimostrazione della formula di Taylor con resto di Lagrange e con resto di Peano che io possa capire?

Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.
 
 

Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9158

avt
Ifrit
Amministratore
Qui trovi la dimostrazione del teorema di Taylor con resto di Peano, fresca fresca, in realtà appena stampata!

Non è facile da capire, ma ci si deve impegnare un pochetto no?

Per quanto riguarda la dimostrazione con il resto di Lagrange arriva a momenti.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, 904, CarFaby, TeQuila.

Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9164

avt
904
Sfera
Grazie mille! Dopo un bel po' di fatica l'ho capito finalmente, ora mi rimane solo il resto di Lagrange..

Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #9171

avt
Ifrit
Amministratore
Teorema: siano

f:(a, b)\longrightarrow \mathbb{R} una funzione derivabile n volte in x_0\in (a, b);

T_n(x) il polinomio di Taylor di grado n generato da f con centro x_0;

R_n(x)= f(x)-T_n(x) la funzione resto.

Se f è derivabile n+1 volte in (a, b) escluso al più x_0 allora esiste c\in (x_0, x) tale che:

R_{n}(x)=\overbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}^{\mbox{Resto di Lagrangia}}


Dimostrazione

Senza perdita di generalità supponiamo che x>x_0, il caso x_0<x è spiccicato.

Definiamo due funzioni ausiliarie (nel senso che mi aiutano nelle notazioni)

\\ g(x)=f(x)-T_n(x)=\\ \\=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}\\ \\w(x)=(x-x_0)^{n+1}

Tieni a mente queste funzioni, li userò in modo massiccio! Osserviamo che

g(x_0)= f(x_0)-f(x_0)=0

(se ci metti x_0 al posto di x nella formula di g, si annullano tutti gli addendi che hanno per fattore (x-x_0))

inoltre

g'(x_0)= f'(x_0)-f'(x_0)=0

Questo vale per tutti gli ordini di derivazione della funzione g, compresi tra 1 e l'n-esimo ordine, cioè si ha che:

g''(x_0)=0, g'''(x_0)=0, ... , g^{(n)}(x_0)=0

mentre

g^{(n+1)}(x)= f^{(n+1)}(x)\quad\forall x\in (a, b) questo perché

T_n(x) è un polinomio di grado n. La derivata n+1-esima di tale polinomio è zero!

Inoltre abbiamo che:

\\ w(x_0)= (x_0-x_0)^{n+1}=0\\ \\ w'(x_0)=(n+1)(x_0-x_0)^{n}=0\\ \\ w''(x_0)= (n+1)n (x_0-x_0)^{n-1}=0\\ \\ w'''(x_0)= (n+1)n(n-1)(x-x_0)^{n-2}\\ \\ w^{(n)}(x_0)=(n+1)n(n-1)\cdots 2 (x_0-x_0)=0\\ \\ w^{(n+1)}(x_0)= (n+1)!

Nell'intervallo

[x_0, x] le funzioni g e w soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy infatti:

g è continua in [x_0, x], perché differenza di funzioni continue, è derivabile in (x_0, x) perché differenza di funzioni derivabili

w(x) è una funzione continua in [x_0, x] (funzione polinomiale) e derivabile in (x_0, x), inoltre w(x)\ne 0\quad \forall x\in (x_0, x)

Per il teorema di Cauchy esiste un punto c_1\in(x_0, x) tale che:

\frac{g(x)-g(x_0)}{w(x)-w(x_0)}=\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}

Ma attenzione!

g(x_0)=0 così come w(x_0)=0 quindi la precedente uguaglianza si riduce a

\frac{g(x)}{w(x)}=\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}

La cosa figa ora è che sia le funzioni g' che w' soddisfano il teorema di Cauchy in [x_0, c_1] pertanto esiste c_2\in(x_0, c_1) tale che:

\frac{g'(c_1)-g'(x_0)}{w'(c_1)-w'(x_0)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}

ma attenzione!

g'(x_0)=0 così come w'(x_0)=0 quindi la precedente uguaglianza si riduce a

\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}

Ma poiché \frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g(x)}{w(x)} si ha la catena di uguaglianze:

\frac{g(x)}{w(x)}=\frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}

Fighissimo!

Procedendo in questo modo per n+1 volte!!! costruiremo una sequenza di n+1 numeri c_1, c_2, \cdots, c_{n+1} tali che

x_0<c_{n+1}<c_n<\cdots<c_2<c_1

e che

\frac{g(x)}{w(x)}= \frac{g'(c_1)}{w'(c_1)}= \frac{g''(c_2)}{w''(c_2)}=\cdots =\frac{g^{(n+1)}(c_{n+1})}{w^{(n+1)}(c_{n+1})}

Osserva ora che:

g^{(n+1)}(x)= f^{(n+1)}(x)

mentre

w^{(n+1)}(x)= (n+1)!

(lo abbiamo visto prima!)

Si ha che:

\frac{g(x)}{w(x)}= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}

Ora facciamo ci furbi!

g(x)= f(x)-T_n(x)

mentre

w(x)= (x-x_0)^{n+1}

Di conseguenza

\frac{g(x)}{w(x)}= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}

diventa:

\frac{f(x)-T_{n}(x)}{(x-x_0)^{n+1}}= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}

Da ciò, moltiplicando membro a membro per (x-x_0)^{n+1} segue che:

f(x)-T_{n}(x)= \frac{f^{(n+1)}(c_{n+1})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

Adesso, ponendo

\\ R_n(x)= f(x)-T_n(x)\\ \\ \mbox{e}\\ \\ c= c_{n+1}

Abbiamo che la precedente uguaglianza si riscrive come:

R_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

Finito!

____
Per chi volesse la spiegazione concettuale relativa agli sviluppi di Taylor - click!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 904, xavier310, michele90, CarFaby, GIULIOPT95, decafale, TeQuila., RuCoLa...

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43868

avt
Francescaa
Punto
Ciao!

Intanto ringrazio per questa ottima dimostrazione! Volevo far notare una svista.

Quando si calcolano le derivate della funzione w(x) in x con 0, all'ultima riga c'è scritto che la derivata (n+1)-esima è uguale a (n+1)!

Ma come poi ha scritto pochi passaggi più avanti (n+1)! è uguale alla derivata (n+1)-esima della w(x) in x e non nel punto x0...

Correggetemi se sbaglio,
Grazie

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43881

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Francescaa!

La derivata n+1-esima della funzione

w(x)= (x-x_0)^{n+1}

è

w^{(n+1)}(x)= (n+1)!

Per farti un esempio esplicito, proviamo a calcolare la derivata sesta della funzione w(x)= (x-x_0)^6 (il principio è lo stesso)

\\ w'(x)= 6 (x-x_0)^5\\ \\ w''(x)= 6\cdot 5 (x-x_0)^4\\ \\ w'''(x)= 6\cdot 5\cdot 4 (x-x_0)^3\\ \\ w^{(4)}(x)=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 (x-x_0)^2\\ \\ w^{(5)}(x)=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 (x-x_0)\\ \\ w^{(6)}(x)=\overbrace{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}^{6!}

Da questo esempio (non è una dimostrazione) si comprende appunto che se si deriva n+1 volte una potenza di x-x_0, con grado n+1, il risultato è (n+1)!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43885

avt
Francescaa
Punto
S' sì su questo non c'è ombra di dubbio. Il mio dubbio ricadeva su

w^{(n+1)}(x)= (n+1)!\quad \forall x\in\mathbb{R}

come forse erroneamente ha scritto nella dimostrazione.

Oppure è corretto? (Il mio dubbio è se la funzione viene calcolata nel punto x con zero)

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43887

avt
Ifrit
Amministratore
È corretta in realtà. La derivata n+1-esima della potenza (x-x_0)^{n+1} è

w^{(n+1)}(x)= (n+1)!\quad \forall x\in\mathbb{R}

Indipendentemente dal valore che x assume, la derivata n+1-esima di w è costante e vale (n+1)!. Possiamo quindi asserire che:

w^{(n+1)}(x_0)= (n+1)!
Ringraziano: Omega

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43889

avt
Francescaa
Punto
Ah ecco! Allora vale per ogni valore di x!

Grazie mille per le spiegazioni! E mi scuso per la mia osservazione errata!

Re: Dimostrazione formula di Taylor con resto di Lagrange #43892

avt
Ifrit
Amministratore
Figurati, non c'è nessun problema!
Ringraziano: Omega
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