Mostrare che questa serie converge se e solo se alpha è maggiore di 1

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Mostrare che questa serie converge se e solo se alpha è maggiore di 1 #9025

avt
faraday
Cerchio
Vi presento questa serie, che credo essere una serie abbastanza nota, e utile nei casi di confronto asintotico per quanto ne so.

Il problema è che non saprei come dimostrare che questa serie converge se e solo se \alpha>1

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln(n))^{\alpha}}
 
 

Re: Mostrare che questa serie converge se e solo se alpha è maggiore di 1 #9040

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo la serie:

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln(n))^{\alpha}}

È una serie a termini positivi e il termine generale della serie è decrescente e infinitesimo (per \alpha>0)

Sia il criterio del rapporto che il criterio della radice sono inconcludenti.

Io procederei col criterio di condensazione di Cauchy (tipico per le serie di questo tipo), le cui ipotesi sono soddisfatte.

Sia a_{n}= \frac{1}{n\ln^{\alpha}(n)}. La serie

\sum_{n=2}^{\infty}a_n

converge se e solo se

\sum_{n=2}^{\infty}2^n a_{2^n}

converge.

Studiamo la seconda. Osserviamo che

2^n a_{2^n}= 2^n\frac{1}{2^{n}\ln^{\alpha}(2^n)}=\frac{1}{(\ln(2^n))^{\alpha}}=

Ricordando la proprietà dei logaritmi:

\ln(a^b)= b\ln(a)\quad \forall a>0

possiamo scrivere la successione come:

\frac{1}{n^{\alpha} (\ln(2))^{\alpha}}

Dunque la serie originaria converge se e solo se

\frac{1}{\ln^\alpha(2)}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}

converge.

Attenzione:

\frac{1}{\ln^{\alpha}(2)}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}

non è altro che la serie armonica generalizzata ed è noto che converge se e solo se \alpha>1.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, faraday

Re: Mostrare che questa serie converge se e solo se alpha è maggiore di 1 #9455

avt
faraday
Cerchio
Il criterio di condensazione di Cauchy non l'ho mai sentito :(

Perdonami Ifrit, ma potresti dimostrare non utilizzando il criterio di condensazione di Cauchy, per il semplice fatto che, se dovesse capitarmi questa domanda all'orale, non posso atteggiarmi prendendo in considerazione qualcosa che il prof non ha spiegato, mi capisci?

Re: Mostrare che questa serie converge se e solo se alpha è maggiore di 1 #9565

avt
Ifrit
Amministratore
Allora procediamo con un criterio diverso, anche se è molto strano che il vostro docente non vi abbia spiegato il criterio di condensazione...

Criterio integrale per le serie:

sia f:[n_0, +\infty)\to \mathbb{R} una funzione definitivamente ] monotona debolmente decrescente, tale che:

\lim_{x\to +\infty} f(x)= 0

allora la serie \sum_{n=n_0}^{\infty} f(k) converge se e solo se \int_{n_0}^{\infty}f(x)dx converge.

Utilizziamo il criterio.

La funzione

f(x)= \frac{1}{x\ln^{\alpha}(x)}

è ovviamente definitivamente decrescente ed è positiva per x>1, quindi il criterio integrale è applicabile.

La serie

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{k\ln^{\alpha}(k)}

converge se e solo se converge l'integrale improprio di prima specie

\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^{\alpha}(x)}dx

Per \alpha=1 l'integrale si riduce a

\\ \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)}dx=\\ \\ \\ = \lim_{M\to \infty}\left(\ln\ln(M)-\ln\ln(2)\right)= +\infty

L'integrale diverge, anche la serie si comporterà di conseguenza.

Per \alpha\ne 1 si ha che:

\\ \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^{\alpha}(x)}dx=\\ \\ \\ \int_{2}^{\infty}\frac{(\ln(x))^{-\alpha}}{x}dx

Questo è un integrale fondamentale del tipo:

\int [f(x)]^{\beta}f'(x)dx= \frac{[f(x)]^{\beta+1}}{\beta+1}+c

Quindi possiamo studiare l'integrale precedente con la definizione di integrale improprio

\\ \int_{2}^{\infty}\frac{(\ln(x))^{-\alpha}}{x}dx=\\ \\ \\ \lim_{M\to \infty}\frac{\ln^{1-\alpha}(M)}{1-\alpha}-\frac{\ln(2)}{\alpha-1}

Concentriamoci sul limite:

\lim_{M\to \infty}\frac{\ln^{1-\alpha} (M)}{1-\alpha}

Se 1-\alpha<0\implies \alpha>1 allora:

\lim_{M\to \infty}\frac{\ln^{1-\alpha}(M)}{1-\alpha}=0

Quindi l'integrale converge e per il criterio integrale converge anche la serie.

Per \alpha<1

\lim_{M\to \infty}\frac{\ln^{1-\alpha}(M)}{1-\alpha}=+\infty

L'integrale diverge così come la serie.

Possiamo concludere quindi che la serie di partenza converge se e solo se \alpha >1.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, faraday
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Os