Integrale improprio visto al compito di analisi 1

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Integrale improprio visto al compito di analisi 1 #8075

  • Ercan
  • avt
  • Punto
Ciao, volevo chiedere se qualche anima buona può mostrarmi come risolvere questo integrale improprio tra 0 e infinito, mi è capitato nel compito di Analisi 1:

\int_{0}^{+\infty}{\frac{4x}{4x^8+1}dx}

Ci deve essere qualche trucco perché con wolfram viene un risultato super lungo.

Grazie

 
 
 

Integrale improprio visto al compito di analisi 1 #8123

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao Ercan! emt

Vediamolo volentieri questo integrale improprio di prima specie:

\int_{0}^{+\infty}{\frac{4x}{4x^8+1}dx}

Mi permetto di darti un consiglio spassionato: Wolphie prendilo con le pinze, è bravo e si applica ma è ancora piccolo. Perché...è un calcolatore! Ci sono limiti che si risolvono con due passaggi e che lui si ostina a risolvere con de l'Hopital facendo paginate e paginate di calcoli. Come dargli torto? Lui ci mette un nanosecondo...tu no, io no! emt

Per determinare la convergenza/divergenza di questo integrale basta ricorrere ad un confronto asintotico, non serve calcolare una primitiva (ammesso e non concesso che esista, chi se ne frega).

Facendo riferimento agli integrali impropri notevoli, è sufficiente valutare il comportamento della funzione:

- in un intorno di +\infty

- in un intorno destro di 0^{+}

Nel secondo caso non c'è il minimo problema perché la funzione integranda è ben definita e continua nel punto x=0.

Morale: ci limitiamo al caso x\to +\infty.

Con un rapido confronto tra infiniti l'integranda è asintoticamente equivalente a

\frac{4x}{4x^8+1}\sim_{x\to +\infty} \frac{4x}{4x^8}=\frac{1}{x^7}

e quindi, grazie al confronto asintotico (e alla conoscenza degli integrali impropri notevoli), si conclude subito che l'integrale proposto converge.

Morale: questi integrali non vanno calcolati, bisogna solo studiarne la convergenza/divergenza... emt

Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, Ercan, CarFaby, tetorgotutto, mattiapdo, Bab

Re: Integrale improprio visto al compito di analisi 1 #8203

  • Ercan
  • avt
  • Punto
Grazie mille Omega...

Ringraziano: Omega
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Os