Integrale definito di una funzione razionale

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#7894
avt
margot
Frattale

Come posso calcolare questo integrale definito con integranda una funzione razionale fratta?

∫_0^3(2x)/(1+x^2)dx

Grazie mille!

#7913
avt
frank094
Sfera

Ciao Margot,

abbiamo a che fare con l'integrale di una funzione razionale.

Consideriamo il corrispondente integrale indefinito:

∫(2x)/(1+x^2)dx

Nota che a numeratore abbiamo proprio la derivata del denominatore, quindi facendo riferimento ad una nota formula degli integrali fondamentali in forma generale

∫f'(g(x))·g'(x)dx = f(g(x))+c

Nel nostro caso la primitiva è una funzione logaritmica, quindi

∫(1)/(1+x^2)·2xdx = log|1+x^2|+c

Il valore assoluto può essere omesso perché l'argomento è sicuramente non negativo.

∫(1)/(1+x^2)·2xdx = log(1+x^2)+c

Per concludere calcoliamo il valore dell'integrale definito

∫_0^3(2x)/(1+x^2)dx = [log(1+x^2)]_0^3 = log(10)−log(1) = log(10)

Ringraziano: Omega, margot, CarFaby
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