Limite di una successione dipendente da un parametro

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Limite di una successione dipendente da un parametro #786

avt
margot
Frattale
Ciao, ho una successione dipendente da un parametro e devo calcolarne il limite. Precisamente: per quali valori di a∈R il limite risulta finito e diverso da zero?

\lim_{n\to \infty}\frac{ n^2+3n+1 }{n^a(\sqrt{2n+1} - \sqrt{n})}

Dovrebbe risultare finito e diverso da zero quando ho lo stesso grado al numeratore e denominatore, giusto? Quindi il parametro richiesto è 2?

Grazie mille!
 
 

Re: Limite di una successione dipendente da un parametro #798

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Margot,

per calcolare il limite di successione

\lim_{n\to \infty}\frac{ n^2+3n+1 }{n^a(\sqrt{2n+1} - \sqrt{n})}

è necessario razionalizzare, quindi moltiplichiamo numeratore e denominatore per \sqrt{2n+1}+\sqrt{n}

\lim_{n\to \infty}\frac{( n^2+3n+1)(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}) }{n^a(\sqrt{2n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n})}

Facciamo i conti al denominatore:

\\ \lim_{n\to \infty}\frac{( n^2+3n+1)(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}) }{n^a(\sqrt{2n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n})}\\ \\ \\ \lim_{n\to \infty}\frac{( n^2+3n+1)(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}) }{n^a(n+1)}

Adesso effettuiamo un po' di messe in evidenza, ma lo facciamo per fattori per rendere chiaro ciò che stiamo facendo:

\\ ( n^2+3n+1)= n^2\left(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)\\ \\ \\ \sqrt{2n+1}+\sqrt{n}= \sqrt{2n\left(1+\frac{1}{2n}\right)}+\sqrt{n}=

A questo punto intervengono le proprietà delle radici: la radice del prodotto è uguale al prodotto delle radici

= \sqrt{2}\sqrt{n}\sqrt{\left(1+\frac{1}{2n}\right)}+\sqrt{n}

metti in evidenza \sqrt{n} ottenendo:

\sqrt{n}\left(\sqrt{2}\sqrt{\left(1+\frac{1}{2n}\right)}+1\right)

In definitiva il numeratore della nostra successione può essere riespresso come:

\\ ( n^2+3n+1)(\sqrt{2n+1}+\sqrt{n})=\\ \\ \\ =n^2\sqrt{n}\left(\sqrt{2}\sqrt{\left(1+\frac{1}{2n}\right)}+1\right)\left(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)

Il denominatore d'altro canto può essere riespresso come:

n^a (n+1)= n^{a+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)

Quando n tende a più infinito puoi osservare che:

\left(\sqrt{2}\sqrt{\left(1+\frac{1}{2n}\right)}+1\right)\longrightarrow \sqrt{2}+1

mentre

\left(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)\longrightarrow 1

Dopo le molteplici tribolazioni, ci accorgiamo che la finitezza del limite dipende dal fattore:

\frac{n^2 \sqrt{n}}{n^{a+1}}= n^{\frac{3}{2}-a}

Ci siamo quindi ricondotti allo studio di un limite fondamentale.

__________________________________

Richiamo: limite fondamentale

\lim_{n\to \infty} n^\alpha =\left\{\begin{matrix} 0&\mbox{ se }\alpha<0\\ 1 & \mbox{se }\alpha=0\\+\infty &\mbox{ se }\alpha>0 \end{matrix}\right.\!
__________________________________


Il tuo esercizio richiede che il limite risulta finito e diverso da zero, grazie a questa discussione, dobbiamo pretendere che

\lim_{n\to \infty}\frac{n^2 \sqrt{n}}{n^{a+1}}= n^{\frac{3}{2}-a}=1

cioè quando

\frac{3}{2}-a=0\iff a=\frac{3}{2}

Ricomponendo i pezzi, per a=\frac{3}{2} valore il limite di partenza vale 1+\sqrt{2}.
Ringraziano: ciolo, frank094

Re: Limite di una successione dipendente da un parametro #799

avt
margot
Frattale
Grazie mille per la spiegazione!
Ringraziano: Ifrit
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Os