Integrali fratti con delta=0

Sto studiano duramente gli integrali fratti e non ho capito come ci si comporta con delta uguale a 0.

Ad esempio



come si procede in generale con gli integrali fratti con delta=0?

Ciao Marco

Se ci trovassimo di fronte ad un integrale del tipo



con un polinomio con delta associato uguale a zero, allora dovremmo scrivere il denominatore come un quadrato. Detta la radice di molteplicità 2 dell'equazione di secondo grado



allora ci troveremmo di fronte ad un integrale fondamentale: l'integrale di una potenza.

Infatti potremmo scrivere l'integranda con la definizione di potenza ad esponente negativo



e quindi dovremmo semplicemente calcolare



con una costante additiva.


Esempio (NON è quello che hai proposto)



scompongo il denominatore con la regola del quadrato di un binomio





e procedo come prima




Il problema dell'esempio che hai proposto è che NON rientra nel caso considerato. Il denominatore non ha delta associato uguale a zero:



dunque devi trovare le due radici del denominatore



e procedere con il metodo dei fratto semplici.

Abbiamo a disposizione gli zeri del polinomio, possiamo pertanto scomporlo come



Al fattore



associamo il fratto semplice



così come al fattore



associamo il fratto semplice

.

Il nostro obiettivo ora è quello di determinare le due costanti di modo che sussista l'uguaglianza



Facciamo in modo che entrambi i membri abbiano lo stesso denominatore



Semplifichiamo membro a membro i denominatori ed eseguiamo i calcoli prestando attenzione ai segni



Raccogliamo parzialmente secondo le potenze di



e grazie al principio di identità dei polinomi costruiamo il sistema lineare



da cui otteniamo .

Tali costanti permettono di esprimere l'integrale che hai proposto come segue



Grazie alle proprietà degli integrali, spezziamo l'integrale della somma come somma di integrali



Entrambi sono integrali notevoli del tipo



che hanno come risultato un logaritmo.



dove è una costante reale additiva.