Integrali fratti con delta=0

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Integrali fratti con delta=0 #76248

avt
marco792005
Banned
Sto studiano duramente gli integrali fratti e non ho capito come ci si comporta con delta uguale a 0.

Ad esempio

∫ (1)/(x^2+4x-4)dx

come si procede in generale con gli integrali fratti con delta=0?
 
 

Integrali fratti con delta=0 #76307

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marco emt

Se ci trovassimo di fronte ad un integrale del tipo

∫(1)/(x^2+ax+b)dx

con x^2+ax+b un polinomio con delta associato uguale a zero, allora dovremmo scrivere il denominatore come un quadrato. Detta x = R la radice di molteplicità 2 dell'equazione di secondo grado

x^2+ax+b = 0 → (x-R)^2 = 0

allora ci troveremmo di fronte ad un integrale fondamentale: l'integrale di una potenza.

Infatti potremmo scrivere l'integranda con la definizione di potenza ad esponente negativo

∫(1)/(x^2+ax+b)dx = ∫(1)/((x-R)^2)dx = ∫(x-R)^(-2)dx =

e quindi dovremmo semplicemente calcolare

= ((x-R)^(-2+1))/(-2+1)+c = -(x-R)^(-1)+c

con c una costante additiva.


Esempio (NON è quello che hai proposto)

∫(1)/(x^2+4x+4)dx =

scompongo il denominatore con la regola del quadrato di un binomio

x^2+4x+4 = 0 → (x+2)^2 = 0

= ∫(1)/((x+2)^2)dx =

e procedo come prima

= ∫(x+2)^(-2)dx = ((x+2)^(-2+1))/(-2+1)+c = -(x+2)^(-1)+c = (-1)/(x+2)+c


Il problema dell'esempio che hai proposto è che NON rientra nel caso considerato. Il denominatore non ha delta associato uguale a zero:

x^2+4x-4 = 0 → Δ = 16-(4)(-4)(1) = 32

dunque devi trovare le due radici del denominatore

x^2+4x-4 = 0 → x_(1,2) = (-4±√(32))/(2) = -2±2√(2)

e procedere con il metodo dei fratto semplici.

Abbiamo a disposizione gli zeri del polinomio, possiamo pertanto scomporlo come

x^2+4x-4 = (x-2(-1-√(2)))(x-2(-1+√(2)))

Al fattore

x-2(-1-√(2))

associamo il fratto semplice

(A)/(x-2(-1-√(2)))

così come al fattore

x-2(-1+√(2))

associamo il fratto semplice

(B)/(x-2(-1+√(2))).

Il nostro obiettivo ora è quello di determinare le due costanti A e B di modo che sussista l'uguaglianza

(1)/((x-2(-1-√(2)))(x-2(-1+√(2)))) = (A)/(x-2(-1-√(2)))+(B)/(x-2(-1+√(2)))

Facciamo in modo che entrambi i membri abbiano lo stesso denominatore

 (1)/((x-2(-1-√(2)))(x-2(-1+√(2)))) = (A(x-2(-1+√(2)))+B(x-2(-1-√(2))))/((x-2(-1-√(2)))(x-2(-1+√(2))))

Semplifichiamo membro a membro i denominatori ed eseguiamo i calcoli prestando attenzione ai segni

1 = Ax+Bx+2A-2√(2)A+2B+2√(2)B

Raccogliamo parzialmente secondo le potenze di x

1 = (A+B)x-2(-A+√(2)A-B-√(2)B)

e grazie al principio di identità dei polinomi costruiamo il sistema lineare

A+B = 0 ;-2(-A+√(2)A-B-√(2)B) = 1

da cui otteniamo A = -(1)/(4√(2)) e B = (1)/(4√(2)).

Tali costanti permettono di esprimere l'integrale che hai proposto come segue

∫(1)/(x^2+4x-4)dx = ∫((-(1)/(4√(2)))/(x-2(-1-√(2)))+((1)/(4√(2)))/(x-2(-1+√(2))))dx =

Grazie alle proprietà degli integrali, spezziamo l'integrale della somma come somma di integrali

= -(1)/(4√(2))∫(1)/(x-2(-1-√(2)))dx+(1)/(4√(2))∫(1)/(x-2(-1+√(2)))dx = (• •)

Entrambi sono integrali notevoli del tipo

∫(h'(x))/(h(x))dx = ln(|h(x)|)+c

che hanno come risultato un logaritmo.

(• •) = -(1)/(4√(2))ln(|x-2(-1-√(2))|)+(1)/(4√(2))ln(|x-2(1+√(2))|)+c

dove c è una costante reale additiva.
Ringraziano: CarFaby, monella3156
  • Pagina:
  • 1
Os