Passaggi algebrici per un integrale fratto con risultato arcotangente

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Passaggi algebrici per un integrale fratto con risultato arcotangente #75132

avt
dodo5c
Punto
Facendo qualche esercizio sugli integrali fratti e mi sono imbattuto in uno che dovrebbe avere come risultato un'arcotangente. È questo

∫ (1)/(5x^(2)+4x+1)dx

Dobbiamo ricondurci all'arcotangente per mezzo di passaggi algebrici. Io sono arrivato soltanto a capire come costruire il quadrato cioè

5x^(2)+4x+1 = (√(5)x+(2)/(√(5)))^(2)+(1)/(5)

Però a questo punto non so più come muovermi per arrivare a

1+(qualcosa)^(2).

Avete un suggerimento? Grazie! emt
 
 

Passaggi algebrici per un integrale fratto con risultato arcotangente #75146

avt
Galois
Amministratore
Ciao dodo5c emt

Ci sei quasi..

Una volta scritto

5x^2+4x+1 = (√(5)x+(2)/(√(5)))^2+(1)/(5)

Che, per questioni di praticità (utili tra poco) possiamo riscrivere come:

5x^2+4x+1 = (√(5)x+(2)/(√(5)))^2+(1)/(5) =

= ((5x+2)/(√(5)))^2+(1)/(5)

Per arrivare alla forma

(qualcosa)^2+1

ti basta raccogliere a fattor comune (1)/(5) in modo da avere

5x^2+4x+1 = ((5x+2)/(√(5)))^2+(1)/(5) = (1)/(5)[(((5x+2)/(√(5)))^2)/((1)/(5))+1] =

(ti faccio vedere tutti i passaggi)

= (1)/(5)[(((5x+2)/(√(5)))^2)/(((1)/(√(5)))^2)+1] =

= (1)/(5)[(((5x+2)/(√(5)))/((1)/(√(5)))^2)+1] =

(per com'è definita una frazione di frazione)

= (1)/(5)[(5x+2)^2+1]

Abbiamo quindi

∫((1)/(5x^2+4x+1))dx = ∫((1)/((1)/(5)[(5x+2)^2+1]))dx =

= ∫((5)/((5x+2)^2+1))dx

Ci siamo così ricondotti all'integrale notevole dell'arcotangente.

Possiamo allora concludere che

∫((1)/(5x^2+4x+1))dx = ∫((5)/((5x+2)^2+1))dx = arctan(5x+2)+c

con c ∈ R

emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, dodo5c
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Os