Integrale improprio fratto con parametro su (1,+infinito)

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Integrale improprio fratto con parametro su (1,+infinito) #75099

avt
FrancescoMandru
Punto
Ciao a tutti, ho un integrale improprio parametrico di una funzione fratta e devo studiare per quali valori del parametro \alpha\in\mathbb{R} esso converge

\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{(1+x)^2(x+2)^\alpha} dx


Ho letto gran parte di quel che c'è da sapere sulla risoluzione di questi esercizi, ma proprio non mi trovo quando devo trovare una funzione da confrontare con quella di partenza, non riesco a trovare funzioni asintotiche a quelle di partenza, non so, sembra diverso dalle serie, ma forse sono io che sbaglio a ragionare, anzi molto probabile. emt

Quali sono i ragionamenti che devo fare? Variano da esercizio a esercizio o c'è uno schema logico? Non dico per la risoluzione, ma per capire cosa fare insomma.

Grazie per la risposta in anticipo! emt
 
 

Integrale improprio fratto con parametro su (1,+infinito) #75140

avt
Omega
Amministratore
Ciao FrancescoMandru emt

Ci troviamo di fronte ad un integrale improprio di prima specie dipendente da un parametro reale \alpha

\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{(1+x)^2(x+2)^\alpha} dx

osserva infatti che la funzione integranda è una funzione continua sull'intervallo di integrazione (1,+\infty), dunque l'unico estremo che richiede uno studio approfondito è +\infty. All'interno dell'intervallo e all'estremo sinistro non abbiamo alcun problema.

Dopo questa analisi preliminare, dobbiamo appoggiarci ad un opportuno criterio di convergenza per gli integrali impropri di prima specie. Ad esempio possiamo studiare il comportamento asintotico dell'integranda per x\to +\infty e cercare di ricondurci ad un integrale improprio notevole, in modo da stabilire quali sono i valori del parametro reale che garantiscono la convergenza dell'integrale improprio.

Consideriamo l'integranda

\frac{1}{(1+x)^2(x+2)^\alpha}

Al tendere di x\to +\infty possiamo tralasciare le costanti additive nei binomi 1+x e x+2, che sono ininfluenti al cospetto degli infiniti generati dagli addendi x

\frac{1}{(1+x)^2(x+2)^\alpha}\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2\cdot x^{\alpha}}=\frac{1}{x^{2+\alpha}}

Ok emt ora per confronto asintotico con gli integrali impropri notevoli (risultati dimostrati una volta per tutti e dati per acquisiti) possiamo concludere che:

- l'integrale improprio converge se 2+\alpha>1, ossia \alpha>-1;

- l'integrale improprio diverge se 2+\alpha\leq 1, ossia \alpha\leq -1.

Prima di occuparmi del calcolo, al posto tuo, cercherei di consolidare le varie tecniche di studio degli integrali impropri parametrici e a tal proposito ti rimando alla lettura delle lezioni che ho linkato in precedenza, nonché delle schede di esercizi risolti sugli integrali impropri con parametro.
Ringraziano: FrancescoMandru

Integrale improprio fratto con parametro su (1,+infinito) #75143

avt
FrancescoMandru
Punto
Grazie mille Omega!

Ancora una cosa, quando dici che è continua nel suo intervallo di integrazione intendi dire che la funzione non si annulla o non diverge a infinito?

Re: Integrale improprio fratto con parametro su (1,+infinito) #75212

avt
Omega
Amministratore
Intendo proprio che essa è continua in ogni punto dell'intervallo considerato. emt

Ad ogni modo ho capito qual è il tuo dubbio, e...sì. Puoi ragionare per esclusione e osservare che essa non presenta alcun punto di discontinuità su (1,+\infty).

Per dirla in modo rigoroso, è sufficiente osservare che l'integranda è una funzione razionale con numeratore costante e con denominatore che non si annulla in alcun punto dell'intervallo.

Le funzioni razionali sono infatti continue ovunque esse siano definite. Per stabilire ove sono continue è sufficiente ragionare sui punti che annullano il denominatore.
Ringraziano: FrancescoMandru, vavvy29
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