Integrale fratto di x/(1+x^2)

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Integrale fratto di x/(1+x^2) #74815

avt
periptero
Punto
Ciao, mi trovo a dover risolvere l'integrale razionale della funzione x/1+x^2

∫(x)/(1+x^2)dx

Come si procede? L'unico modo per scomporre il denominatore è

1+x^2 = (1+x)^(2)-2x

che non rientra tra i casi indicati qui: integrali di funzioni razionali...
 
 

Integrale fratto di x/(1+x^2) #74862

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao, vediamo come comportarci. emt

1. x^2+1 è un polinomio irriducibile in R, infatti è un polinomio di secondo grado con discriminante associato negativo.

2. Completando il quadrato, non avete fattorizzato il polinomio, ma semplicemente scritto in modo diverso, in questa occasione non serviva. emt

3. L'integrale che proponi è praticamente immediato se osservi che al numeratore hai quasi la derivata del denominatore. Ti manca solo una costante moltiplicativa che comunque puoi far apparire semplicemente moltiplicando e dividendo per la costante che ti serve:

∫(x)/(1+x^2)dx

La derivata del denominatore è 2x, dobbiamo far apparire 2 al numeratore. Moltiplichiamo e dividiamo in modo furbo:

(1)/(2)∫ (2x)/(1+x^2)dx

A questo punto, l'integrale si presenta nella forma:

∫ (f'(x))/(f(x))dx = ln|f(x)|+c

(vedi la tabella degli integrali fondamentali)

Utilizzando questa formula otteniamo.

(1)/(2)∫(2x)/(1+x^2)dx = (1)/(2)log|1+x^2|+c

Osserva che 1+x^2 > 0 quindi il valore assoluto è superfluo.
Ringraziano: Omega, CarFaby, periptero
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Os