Integrale razionale con numeratore di grado 1 e denominatore di grado 2

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Integrale razionale con numeratore di grado 1 e denominatore di grado 2 #74747

avt
mirkos95
Punto
Ciao, sto avendo problemi nel calcolare l'integrale di una funzione razionale avente a numeratore un polinomio di grado 1 e a denominatore uno di grado 2.

∫ (3x+2)/(x^2+x+1)dx


Ho provato a risolverlo così:

∫ (3x)/(x^2+x+1)dx+∫ (2)/(x^2+x+1dx) =

= 3∫ (x)/(x^2+x+1)dx+2∫ (1)/(x^2+x+1)

Da qui in poi non riesco a capire come andare avanti. Il risultato è

(3)/(2)log(x^2+x+1)+(√(3))/(3)arctan(2x+1)/(√(3))+c

La cosa che proprio non riesco a capire è da dove saltino fuori il logaritmo e soprattutto l'arcotangente! Vi ringrazio anticipatamente per ogni eventuale aiuto.
 
 

Integrale razionale con numeratore di grado 1 e denominatore di grado 2 #74782

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mirkos,

l'idea di applicare un barbatrucco algebrico è buona, ma deve avere lo scopo di ricondurre l'integrale alla somma di integrali più semplici da calcolare. emt

∫ (3x+2)/(x^2+x+1)dx =

Guardiamo il denominatore e poi guardiamo il numeratore. E poi, guardiamo la tabella degli integrali notevoli: possiamo estrarre una integranda che abbia una primitiva logaritmica, basta avere al numeratore la derivata del denominatore. Facile! emt

= ∫ (2x+1)/(x^2+x+1)dx+∫ (x+1)/(x^2+x+1)dx

Il primo integrale è immediato e ammette come famiglia di primitive ln(x^2+x+1)+c. Nota che ho omesso il valore assoluto perché x^2+x+1 è positivo ∀ x∈R.

Consideriamo il secondo addendo

∫ (x+1)/(x^2+x+1)dx

Scopo del gioco: ridurci ad avere un integrale con denominatore di secondo grado non scomponibile ed una costante a numeratore. Facciamo così: moltiplichiamo e dividiamo l'integranda per 2

(1)/(2)∫ (2x+2)/(x^2+x+1)dx =

e ripetiamo il giochetto visto in precedenza

= (1)/(2)[∫ (2x+1)/(x^2+x+1)dx+∫ (1)/(x^2+x+1)dx]

Ok! emt Il primo integrale è banale (come sopra), e il secondo?

∫ (1)/(x^2+x+1)dx = (•)

Esso è chiaramente un integrale con primitiva un'arcotangente. Per vederlo, devi scrivere il denominatore come una somma del tipo

1+ quadrato di un binomio lineare

(•) = ∫ (1)/(1+x^2+x)dx =

e a tal proposito dobbiamo completare il quadrato per x^2+x, sommando e sottraendo (1)/(4)

= ∫ (1)/(1+x^2+x+(1)/(4)-(1)/(4))dx =

dunque

= ∫ (1)/((3)/(4)+(x+(1)/(2))^2)dx =

raccogliamo un (3)/(4) al denominatore

= ∫ (1)/((3)/(4)[1+(4)/(3)(x+(1)/(2))^2])dx =

ed esprimiamo il secondo addendo come un unico quadrato

= (4)/(3)∫ (1)/(1+[(2)/(√(3))(x+(1)/(2))]^2)dx = (• •)

Ora se vuoi puoi procedere integrando per sostituzione: poni y = (2)/(√(3))(x+(1)/(2)) e porta a casa il risultato, oppure possiamo procedere in modo diverso così da ricondurci all'integrale notevole in forma generale che ha per risultato un'arcotangente (a meno di costanti additive).

∫(h'(x))/(1+[h(x)]^2)dx = arctan(h(x))+c

Per ricondurci all'integrale notevole abbiamo bisogno della derivata di (2)/(√(3))(x+(1)/(2)), ossia (2)/(√(3)) al numeratore dell'integranda

 (• •) = (4)/(3)·(√(3))/(2)∫ ((2)/(√(3)))/(1+[(2)/(√(3))(x+(1)/(2))]^2)dx = 2(√(3))/(3)arctan((2)/(√(3))(x+(1)/(2)))+c

Ricomponiamo il risultato dell'integrale di partenza così da ottenere che

∫(3x+2)/(x^2+x+1)dx = (1)/(√(3))arctan((1+2x)/(√(3)))+(3)/(2)ln(1+x+x^2)+k

dove k è una costante reale.

PS: confronta integrali online. emt
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Os