Convergenza di un integrale improprio in 0 e +infinito

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Convergenza di un integrale improprio in 0 e +infinito #74721

  • linofex
  • avt
  • Punto
Ciao, vi propongo lo studio della convergenza a zero e a +infinito del seguente integrale improprio con integranda fratta

\int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{(\sqrt{1+x^2}-1)\arctan(\sqrt{x})}dx

A 0 ho visto che converge, ma avrei bisogno di una conferma.

Ho dei dubbi sul \cos(x), visto che causa indeterminazione. Io avrei pensato di spezzare l'integrale come segue

\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{(\sqrt{1+x^2}-1))\arctan(\sqrt{x})}dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{-\cos(x)}{(\sqrt{1+x^2}-1))\artan(\sqrt{x})}dx

Studiando il primo vedo che diverge, quindi tutto l'integrale diverge. Dove sbaglio?

Potrei anche confrontarlo con una funzione integranda più grossa, solo che poi essa mi diverge e quindi non posso concludere quello che fa la mia integranda da studiare.

Come potrei fare?
Grazie in anticipo!

 
 
 

Convergenza di un integrale improprio in 0 e +infinito #74779

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
Ciao Linofex emt

Abbiamo l'integrale improprio di cui vogliamo conoscere il comportamento:

\int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{(\sqrt{1+x^2}-1)\arctan(\sqrt{x})}dx

Abbiamo due punti problematici e coincidono con gli estremi, il primo passo consiste nello studiare la funzione integranda nell'intorno di zero.

Per x che tende a zero valgono le stime asintotiche:

\bullet\,\,1-\cos(x)\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}x^2

\bullet\,\,\sqrt{1+x^2}-1\sim_{x\to 0} x

\bullet\,\, \arctan(\sqrt{x})\sim_{x\to 0}\sqrt{x}

Tutte queste stime si possono ricavare dai limiti notevoli (a tal proposito puoi leggere come usare i limiti notevoli).

In definitiva per x che tende a zero vale la stima asintotica:

\frac{1-\cos(x)}{(\sqrt{1+x^2}-1)\arctan(\sqrt{x})}\sim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x}}

e per i criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie l'integrale improprio converge in un intorno di zero.

Non ci rimane altro che studiare l'integrale

\int_{1}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{(\sqrt{1+x^2}-1)\arctan(\sqrt{x})}dx

L'unico modo per portare a casa l'esercizio è mostrare che la funzione integranda è un o-piccolo di \frac{1}{x^{\alpha}} con 0<\alpha<1

Nel nostro caso si può dimostrare che:

\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1-\cos(x)}{(\sqrt{1+x^2}-1)\arctan(\sqrt{x})}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}=0

Poiché la funzione integranda è un o piccolo di \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} allora l'integrale diverge.

Nota che in sostanza abbiamo dimostrato che la funzione integranda all'infinito è un infinitesimo di ordine inferiore ad uno rispetto all'infinitesimo campione \frac{1}{x}.

L'integrale di partenza divergerà di conseguenza.


Attenzione: non puoi spezzare in quel modo l'integrale, diventa troppo complicato studiare il comportamento del secondo, quello in cui compare la funzione coseno. È possibile che salti fuori una forma indeterminata... meglio evitare.

Ringraziano: Omega
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Os