Integrale improprio con parametro, tangente e radice

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Integrale improprio con parametro, tangente e radice #74636

avt
_valerio_
Punto
Buon pomeriggio, devo studiare la convergenza di un integrale improprio parametrico con una tangente ed una radice nell'integranda, solo che arrivato ad un certo punto mi blocco:

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan(x) x^{\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{2}-x}dx


Abbiamo problemi nell'estremo di integrazione \frac{\pi}{2}

\int_{0}^{c}\tan(x) x^{\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{2}-x}dx

È un integrale improprio di seconda specie: studio il comportamento asintotico per x\to 0

tan(x) \sim_{0} x

tan(x)\cdot x^{\alpha } \sim_{0} x\cdot x^{\alpha }= x^{\alpha +1}

Da qui non riesco più a continuare. Non so come comportarmi con la x presente all'interno della radice.
Grazie mille in anticipo.
 
 

Integrale improprio con parametro, tangente e radice #74660

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao _valerio_ emt

Dobbiamo studiare l'integrale improprio in cui è presente un parametro.

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan(x) x^{\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{2}-x}dx


In realtà dobbiamo effettuare lo studio dividendolo in due parti.

Per \alpha\ge 0 l'integrale improprio ha un solo punto problematico che è appunto dato dal secondo estremo dell'integrale x=\frac{\pi}{2}.

Ti faccio notare che in questo caso la potenza non crea grossi problemi proprio perché il suo esponente è non nullo. Per x\to \frac{\pi}{2}^{-} valgono le stime asintotiche:

\bullet\,\,x^{\alpha}\sim_{x\to \frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\alpha}


Per determinare lo sviluppo asintotico della tangente per x che tende a \frac{\pi}{2} dobbiamo farci furbi, osserva che

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Poiché dobbiamo controllare il comportamento in un intorno di \frac{\pi}{2}

conviene porre

t=x-\frac{\pi}{2}\implies x=t+\frac{\pi}{2}

e osservare che quando x tende a \frac{\pi}{2} , t tende a zero.

Sostituiamo:

\tan\left(t+\frac{\pi}{2}\right)= \frac{\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}

Per le formule sugli archi associati si ha che:

\bullet\,\, \sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(t)\quad\forall t\in\mathbb{R}


\bullet\,\, \cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(t)\quad\forall t\in\mathbb{R}

In definitiva:

\tan\left(t+\frac{\pi}{2}\right)= - \frac{\cos(t)}{\sin(t)}

Se sviluppiamo il secondo membro per t che tende a zero, otterremo lo sviluppo della tangente:

\sin(t)\sim_{t\to 0}t

\cos(t)\sim_{t\to 0}1

Dunque:

\tan\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\sim_{t\to 0} - \frac{1}{t}

Torniamo nella variabile x:

\tan\left(x\right)\sim_{x\to \frac{\pi}{2}}-\frac{1}{x-\pi}

Bene, per quanto riguarda:

\sqrt{\frac{\pi}{2}-x}\sim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^{\frac{1}{2}}

ho espresso in forma di potenza la radice quadrata.

Possiamo utilizzare i criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie.

Per x\to \frac{\pi}{2} e per \alpha\ge 0 la funzione integranda è asintotica a:

f(x)\sim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2}-x}}{\frac{\pi}{2}-x}\cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\alpha}

Semplificando con le proprietà dei radicali otterrai:

f(x)\sim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\alpha}\frac{1}{(\frac{\pi}{2}-x)^{\frac{1}{2}}}

Indipendentemente da \alpha\ge 0 l'integrale di partenza converge perché asintotico a una potenza con esponente minore di 2:

\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\alpha}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{(\pi/2-x)^{\frac{1}{2}}}dx

Questo è un integrale improprio notevole convergente.


Le cose si complicano un po' quando \alpha<0 questo perché il primo estremo dell'integrale diventa problematico per la potenza.

Nota che per x\to \frac{\pi}{2} valgono le stesse considerazioni fatte in precedenza, in un intorno di \frac{\pi}{2} l'integrale converge indipendentemente da \alpha.

Per x\to 0 le cose cambiano.

\bullet\,\, \sqrt{\frac{\pi}{2}-x}\sim_{x\to 0^{+}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}

\bullet\,\, x^{\alpha}\sim_{x\to 0^{+}}x^{\alpha}

infine:

\tan(x)\sim_{x\to 0}x

In definitiva, in prossimità di x=0 la funzione integranda si comporta come:

f(x)\sim_{x\to 0} \sqrt{\frac{\pi}{2}}x x^{\alpha}= \sqrt{\frac{\pi}{2}}x^{\alpha+1}=

\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x^{-1-\alpha}}


e l'integrale di partenza converge se e solo se converge:

\int_{0}^{c} \frac{1}{x^{-1-\alpha}}dx\mbox{ con }0<c<\frac{\pi}{2}

converge. E questo avviene quando l'esponente è minore di 1

-1-\alpha<1\implies -2<\alpha<0

In definitiva l'integrale di partenza converge per \alpha>-2.

Osserva che ho unito i due risultati ottenuti.
Ringraziano: _valerio_

Integrale improprio con parametro, tangente e radice #74679

avt
_valerio_
Punto
Grazie Ifrit, sei stato chiarissimo! Non ho capito però una cosa: per quale motivo abbiamo studiato l'integrale dividendolo in due casi?

Ho notato sul forum di YouMath che molti integrali vengono studiati, dando un valore approssimativo ad \alpha:\ \alpha \geq 0\ ;\ \alpha<0. Per quale motivo?

Integrale improprio con parametro, tangente e radice #74683

avt
Ifrit
Amministratore
Non diamo un valore approssimativo, dipende da come si presenta la funzione integranda emt. Guardiamola in faccia per un momento:

In essa è presente una potenza x^{\alpha}. Se \alpha è un numero maggiore o uguale a zero, la potenza non ti dà problemi in x=0. Quando però l'esponente è negativo, ovvero quando \alpha<0 allora la potenza interferisce nello studio perché rende problematico anche il primo estremo.

Non ti è chiaro? Prima ti invito a leggere questa piccola pagina sulle potenze con esponente negativo, fatto? Bene. Chiediti, cosa succede se \alpha=-1?

La potenza x^{\alpha}= x^{-1}=\frac{1}{x}

ecco che compare un denominatore! E se \alpha=-2, stessa cosa! Se \alpha<0 allora compare un denominatore a cui dobbiamo stare attenti.

Ti renderai conto che se l'esponente è negativo, la potenza diventa problematica in prossimità del primo estremo.

Lo so che può sembrare difficile, ma con il giusto allenamento puoi tranquillamente superare questo scoglio. emt

In bocca al lupo! emt
Ringraziano: Omega, _valerio_

Integrale improprio con parametro, tangente e radice #74744

avt
_valerio_
Punto
Grazie ancora Ifrit emt
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Os