Limite per x che tende a 1 con forma indeterminata 0/0

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
#74427
avt
sarettina
Punto

Buongiorno, ho trovato un limite che dà una forma indeterminata 0/0 al tendere di x a 1; mi sto preparando per un esame con degli esercizi presenti in esami di tempo fa.

Si tratta di una forma indeterminata 0/0 che non riesco a risolvere, ho provato con limiti notevoli, con scomposizioni e moltiplicazioni varie ma niente, se voi mi poteste aiutare ve ne sarei grata. Vi ringrazio in anticipo. Il limite è:

lim_(x → 1^+)(x^2−x)/(ln(x))

Ho provato a scomporre il numeratore ma mi resta sempre il logaritmo naturale sotto e pensavo di usare il teorema di de l'Hopital. Il mio professore però non apprezza molto il metodo. Aiutatemi per favore.

#74457
avt
Omega
Amministratore

Non serve scomodare il marchese de l'Hopital per un limite del genere, è sufficiente procedere con i limiti notevoli, ma a patto di apparecchiare per benino la tavola.

Calcoliamo il limite destro

lim_(x → 1^+)(x^2−x)/(ln(x)) =

e scomponiamo il numeratore con un opportuno raccoglimento totale

= lim_(x → 1^+)(x(x−1))/(ln(x)) =

Ora un piccolo trucchetto algebrico: se sommiamo e sottraiamo un 1 all'interno dell'argomento del logaritmo

= lim_(x → 1^+)(x(x−1))/(ln(1+(x−1))) =

ci mettiamo nella condizione di applicare il limite notevole del logaritmo in forma generale, infatti al tendere di x → 1^+ risulta che (x−1) → 0.

Moltiplichiamo e dividiamo il denominatore per (x−1)

= lim_(x → 1^+)(x(x−1))/((x−1)(ln(1+(x−1)))/(x−1)) = (•)

e applichiamo il limite notevole

lim_(h(x) → 0)(ln(1+h(x)))/(h(x)) = 1

il quale ci permette di riesprimere il limite dato nella forma equivalente

(•) = lim_(x → 1^+)(x(x−1))/((x−1)·1) =

A questo punto non ci resta che semplificare il fattore x−1

= lim_(x → 1^(+))x = 1

e concludere che il limite di partenza è 1.

Ringraziano: CarFaby, StefanoF
  • Pagina:
  • 1