Limite per x che tende a 1 con forma indeterminata 0/0

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Limite per x che tende a 1 con forma indeterminata 0/0 #74427

avt
sarettina
Punto
Buongiorno, ho trovato un limite che dà una forma indeterminata 0/0 al tendere di x a 1; mi sto preparando per un esame con degli esercizi presenti in esami di tempo fa.

Si tratta di una forma indeterminata 0/0 che non riesco a risolvere, ho provato con limiti notevoli, con scomposizioni e moltiplicazioni varie ma niente, se voi mi poteste aiutare ve ne sarei grata. Vi ringrazio in anticipo. Il limite è:

\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-x}{\ln(x)}


Ho provato a scomporre il numeratore ma mi resta sempre il logaritmo naturale sotto e pensavo di usare il teorema di de l'Hopital. Il mio professore però non apprezza molto il metodo. Aiutatemi per favore.
 
 

Limite per x che tende a 1 con forma indeterminata 0/0 #74457

avt
Omega
Amministratore
Non serve scomodare il marchese de l'Hopital per un limite del genere, è sufficiente procedere con i limiti notevoli, ma a patto di apparecchiare per benino la tavola.

Calcoliamo il limite destro

\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-x}{\ln(x)}=

e scomponiamo il numeratore con un opportuno raccoglimento totale

=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{\ln(x)}=

Ora un piccolo trucchetto algebrico: se sommiamo e sottraiamo un 1 all'interno dell'argomento del logaritmo

=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{\ln(1+(x-1))}=

ci mettiamo nella condizione di applicare il limite notevole del logaritmo in forma generale, infatti al tendere di x\to 1^+ risulta che (x-1)\to 0.

Moltiplichiamo e dividiamo il denominatore per (x-1)

=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{(x-1)\frac{\ln(1+(x-1))}{x-1}}=(\bullet)

e applichiamo il limite notevole

\lim_{h(x)\to 0}\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)}=1

il quale ci permette di riesprimere il limite dato nella forma equivalente

(\bullet)=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{(x-1)\cdot 1}=

A questo punto non ci resta che semplificare il fattore x-1

=\lim_{x\to 1^{+}}x=1

e concludere che il limite di partenza è 1.
Ringraziano: CarFaby, StefanoF
  • Pagina:
  • 1
Os