Limite per x che tende a 1 con forma indeterminata 0/0

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Limite per x che tende a 1 con forma indeterminata 0/0 #74427

sarettina

Punto

Buongiorno, ho trovato un limite che dà una forma indeterminata 0/0 al tendere di x a 1; mi sto preparando per un esame con degli esercizi presenti in esami di tempo fa.

Si tratta di una forma indeterminata 0/0 che non riesco a risolvere, ho provato con limiti notevoli, con scomposizioni e moltiplicazioni varie ma niente, se voi mi poteste aiutare ve ne sarei grata. Vi ringrazio in anticipo. Il limite è:

$\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-x}{\ln(x)}$

Ho provato a scomporre il numeratore ma mi resta sempre il logaritmo naturale sotto e pensavo di usare il teorema di de l'Hopital. Il mio professore però non apprezza molto il metodo. Aiutatemi per favore.

Limite per x che tende a 1 con forma indeterminata 0/0 #74457

Omega

Amministratore

Non serve scomodare il marchese de l'Hopital per un limite del genere, è sufficiente procedere con i limiti notevoli, ma a patto di apparecchiare per benino la tavola.

Calcoliamo il limite destro

$\lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-x}{\ln(x)}=$

e scomponiamo il numeratore con un opportuno raccoglimento totale

$=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{\ln(x)}=$

Ora un piccolo trucchetto algebrico: se sommiamo e sottraiamo un 1 all'interno dell'argomento del logaritmo

$=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{\ln(1+(x-1))}=$

ci mettiamo nella condizione di applicare il limite notevole del logaritmo in forma generale, infatti al tendere di $x\to 1^+$ risulta che $(x-1)\to 0$ .

Moltiplichiamo e dividiamo il denominatore per

$=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{(x-1)\frac{\ln(1+(x-1))}{x-1}}=(\bullet)$

e applichiamo il limite notevole

$\lim_{h(x)\to 0}\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)}=1$

il quale ci permette di riesprimere il limite dato nella forma equivalente

$(\bullet)=\lim_{x\to 1^+}\frac{x(x-1)}{(x-1)\cdot 1}=$

A questo punto non ci resta che semplificare il fattore

$=\lim_{x\to 1^{+}}x=1$

e concludere che il limite di partenza è 1.

Ringraziano: CarFaby, StefanoF

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