Limite fratto con de l'Hopital o per sostituzione?

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#71919
avt
Fabius
Punto

Buongiorno! Mi sono imbattuto in un limite e non so se calcolarlo con de l'Hôpital o per sostituzione

lim_(x → 0)(2^(−(1)/(x)))/(x)

Non sono riuscito a venirne a capo. Io so che il suddetto limite fa zero, in quanto l'esponenziale tende a zero più velocemente della potenza. Tuttavia non riesco a dimostrarlo...

Ho provato con de l'Hôpital ma non funziona...allora mi viene da pensare che ci sia da fare una sostituzione ma non credo di essere riuscito a beccare quella giusta.

#71926
avt
Omega
Amministratore

Ciao Fabius,

dovendo calcolare il limite

lim_(x → 0)(2^(−(1)/(x)))/(x)

la prima cosa da fare è notare che il valore può cambiare a seconda che il limite vada calcolato da sinistra o da destra, ossia a seconda che x → 0^(−), x → 0^(+). Dunque dobbiamo calcolare separatamente due diversi limiti

(1) lim_(x → 0^−)(2^(−(1)/(x)))/(x) ; (2) lim_(x → 0^+)(2^(−(1)/(x)))/(x)

Cominciamo da (1), e osserviamo che al tendere di x → 0^− risulta che

(1)/(x) → −∞

quindi

−(1)/(x) → +∞

e in accordo con il esponenziale con base maggiore di 1 a + infinito

2^(−(1)/(x)) → +∞

In buona sostanza ci troviamo di fronte a un rapporto [(+∞)/(0^(−))] e con le semplici regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi concludiamo

lim_(x → 0^−)(2^(−(1)/(x)))/(x) = −∞

Occupiamoci del limite da destra, vale a dire (2)

lim_(x → 0^+)(2^(−(1)/(x)))/(x)

un ragionamento analogo al precedente (attenzione al comportamento dell'esponenziale con base maggiore di 1 a meno infinito) ci permette di stabilire che esso genera una forma indeterminata

lim_(x → 0^(+))(2^(−(1)/(x)))/(x) = [(2^(−∞))/(0^(+))] = [(0^+)/(0^+)]

Procediamo con il teorema di de l'Hopital. Funzionerà? Non funzionerà? Proviamo!

Deriviamo separatamente numeratore e denominatore. Nel caso del numeratore ci tornerà utile la tabella delle derivate fondamentali, nonché il teorema per la derivata della funzione composta

(d)/(dx)[2^(−(1)/(x))] = ln(2) 2^(−(1)/(x))·(d)/(dx)[−(1)/(x)] = ln(2) 2^(−(1)/(x))·[+(1)/(x^2)]

(d)/(dx)[x] = 1

In questo modo passiamo al limite equivalente

lim_(x → 0^+)(2^(−(1)/(x)))/(x) = lim_(x → 0^+)(ln(2) 2^(−(1)/(x))·[+(1)/(x^2)])/(1) = lim_(x → 0^+)(2^(−(1)/(x))·ln(2))/(x^2)

ed è qui che capiamo che de l'Hopital non è d'aiuto: continuiamo ad avere a che fare con la medesima forma indeterminata!

Dobbiamo seguire una strada alternativa: proviamo per sostituzione ponendo y = (1)/(x), per cui y → +∞ al tendere di x → 0^(+)

lim_(x → 0^+)(2^(−(1)/(x)))/(x) = lim_(y → +∞)(2^(−y))/((1)/(y)) =

usiamo la regola per le frazioni di frazioni e la regola per potenze ad esponente negativo

= lim_(y → +∞)(y)/(2^y)

in questo modo ci siamo ricondotti ad un limite banale e che può essere calcolato al volo mediante un confronto tra infiniti

lim_(y → +∞)(y)/(2^y) = 0

e abbiamo finito. In sintesi

lim_(x → 0^−)(2^(−(1)/(x)))/(x) = −∞ ; lim_(x → 0^+)(2^(−(1)/(x)))/(x) = 0

Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, Fabius
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