Limite fratto con seno e radice per x che tende a zero

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Limite fratto con seno e radice per x che tende a zero #71078

avt
riccardo.montagnin
Punto
Buongiorno a tutti, vorrei sapere come risolvereste questo limite fratto in quanto, seguendo la regola di de l'Hopital, non sono riuscito ad andare molto avanti.

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sqrt{x})}}{\sqrt{x}+1-e^x}}

Grazie mille in anticipo a tutti.
 
 

Limite fratto con seno e radice per x che tende a zero #71101

avt
Omega
Amministratore
Ciao Riccardo.Montagnin emt

Dato che si tratta del tuo primo topic, in via del tutto eccezionale rispondo anche se non hai riportato un tentativo di svolgimento (come richiesto dalle linee guida).

Possiamo calcolare il limite

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sqrt{x})}}{\sqrt{x}+1-e^x}}=(\bullet)

semplicemente facendo buon uso dei limiti notevoli ed in particolare delle equivalenze asintotiche che derivano da essi (come usare i limiti notevoli).

In particolare osserviamo che:

- per il limite notevole del seno in forma generale sussiste la stima asintotica

\sin(\sqrt{x})\sim_{x\to 0}\sqrt{x}

questo perché \sqrt{x}\to_{x\to 0}0;

- per il limite notevole dell'esponenziale

1-e^x\sim_{x\to 0}-x

(attenzione al segno)

Le precedenti osservazioni ci permettono di passare al limite equivalente

\\(\bullet)=\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sqrt{x})}}{\sqrt{x}+1-e^x}}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-x}}=

Fatto ciò non resta che ragionare sul denominatore e limitarsi a considerare l'infinitesimo di ordine inferiore (infinitesimo principale). In accordo con la gerarchia degli infinitesimi tra x\mbox{ e }\sqrt{x} salviamo solamente \sqrt{x}, per cui otteniamo

=\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}=1

ed è tutto. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, riccardo.montagnin, yodit
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