Limite fratto con seno e radice per x che tende a zero

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Limite fratto con seno e radice per x che tende a zero #71078

avt
riccardo.montagnin
Punto
Buongiorno a tutti, vorrei sapere come risolvereste questo limite fratto in quanto, seguendo la regola di de l'Hopital, non sono riuscito ad andare molto avanti.

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sqrt{x})}}{\sqrt{x}+1-e^x}}

Grazie mille in anticipo a tutti.
 
 

Limite fratto con seno e radice per x che tende a zero #71101

avt
Omega
Amministratore
Ciao Riccardo.Montagnin,

possiamo calcolare il limite

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sqrt{x})}}{\sqrt{x}+1-e^x}}=(\bullet)

semplicemente facendo buon uso dei limiti notevoli ed in particolare delle equivalenze asintotiche che derivano da essi (come usare i limiti notevoli).

In particolare osserviamo che:

- per il limite notevole del seno in forma generale sussiste la stima asintotica

\sin(\sqrt{x})\sim_{x\to 0}\sqrt{x}

questo perché \sqrt{x}\to_{x\to 0}0;

- per il limite notevole dell'esponenziale

1-e^x\sim_{x\to 0}-x

(attenzione al segno)

Le precedenti osservazioni ci permettono di passare al limite equivalente

\\(\bullet)=\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sqrt{x})}}{\sqrt{x}+1-e^x}}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-x}}=

Fatto ciò non resta che ragionare sul denominatore e limitarsi a considerare l'infinitesimo di ordine inferiore (infinitesimo principale). In accordo con la gerarchia degli infinitesimi tra x\mbox{ e }\sqrt{x} salviamo solamente \sqrt{x}, per cui otteniamo

=\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}=1

ed è tutto.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, riccardo.montagnin, yodit
  • Pagina:
  • 1
Os