Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito

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Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #70972

avt
Chiò
Cerchio
Ciao ragazzi, ho dei problemi con un limite in cui compaiono delle esponenziali al tendere di x a meno infinito

\lim_{x\to-\infty }e^{\frac{2^{3x}-3^{2x}+4^{2x}}{8^x}}

Sono sicuro che devo risolverlo col confronto tra infiniti ma non mi viene, quindi ho operato in un altro modo e cioè considerando l'esponente come:

\frac{8^x}{8^x}-\frac{9^x}{8^x}+\frac{16^x}{8^x}

porto le varie x fuori parentesi e poi come potrei procedere?

Inoltre col confronto tra infiniti come dovrei procedere? Io praticamente confrontavo 16^x e 8^x ed essendo che il numeratore tende a infinito più velocemente mi veniva +infinito, ma è errato. Dove sbaglio?
Ringraziano: yodit
 
 

Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #70990

avt
Omega
Amministratore
Ciao Chiò emt

Le tue considerazioni sarebbero corrette se dovessimo calcolare il limite per x\to +\infty. Qui però abbiamo x\to -\infty e a tal proposito ti invito a prendere visione del grafico della funzione esponenziale con base maggiore di 1.

Quel che voglio intendere non troppo velatamente è che dobbiamo ragionare per confronto tra infinitesimi e non per confronto tra infiniti! emt

Prendiamo in esame il limite

\lim_{x\to-\infty }e^{\frac{2^{3x}-3^{2x}+4^{2x}}{8^x}}=

che grazie ad una nota proprietà delle potenze possiamo riscriverlo nella forma equivalente

=\lim_{x\to-\infty }e^{\frac{8^{x}-9^{x}+16^{x}}{8^x}}=

Ora dividiamo il numeratore dell'esponente termine a termine

=\lim_{x\to-\infty }e^{1-\left(\frac{9}{8}\right)^{x}+\left(\frac{16}{8}\right)^{x}}

Il secondo ed il terzo addendo sono esponenziali con basi maggiori di 1, e al tendere di x\to -\infty generano degli infinitesimi. Sopravvive solamente il primo addendo, dunque

\lim_{x\to-\infty }e^{1-\left(\frac{9}{8}\right)^{x}+\left(\frac{16}{8}\right)^{x}}=e^1=e

Fatto!
Ringraziano: CarFaby, Chiò, yodit

Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #71003

avt
Chiò
Cerchio
Ah ma quindi con -infinito si ragiona come confronto fra infinitesimi? E alla luce di ciò non avrei potuto confrontare direttamente gli infiniti di ordine minore ossia: 2^{3x} al numeratore e 8^x a denominatore ottenendo direttamente 1? Grazie mille Omega. emt

Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #71013

avt
Omega
Amministratore
Prego emt

Però devo tirarti le orecchie: se tu avessi veramente dato un'occhiata al grafico delle esponenziali con base maggiore di 1 (link alla risposta precedente), e se avessi osservato cosa succede nell'intorno di -\infty, non mi avresti posto una domanda del genere.

Qui non c'è alcun infinito, solo infinitesimi. emt
Ringraziano: CarFaby

Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #71017

avt
Chiò
Cerchio
Il grafico l'ho visto Omega però ora ho collegato, o almeno credo emt praticamente nell'intorno di meno infinito siamo sul valore 0 e quindi per questo si parla di infinitesimo? emt

Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #71024

avt
Omega
Amministratore
\mbox{Se }a>1,\ \ \lim_{x\to -\infty}a^x=0^{+}

ossia a^x con a>1 è un infinitesimo per x\to -\infty. emt
Ringraziano: CarFaby, Chiò

Re: Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #71050

avt
Chiò
Cerchio
Ora ho capito tutto Omega emt grazie infinite, volevo chiederti un'ultima cosa, ma il confronto fra infiniti vale anche nel caso di meno infinito? Perché nella lezione correlata ho trovato solo esempi con +infinito quindi mi è sorto il dubbio emt

Re: Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #71052

avt
Omega
Amministratore
Prego emt

La domanda non è chiara...Il confronto tra infiniti (analogamente il confronto tra infinitesimi) riguarda i valori assunti dalla funzione, non dove li assume.

Ad esempio

\\ x\mbox{ con }x\to -\infty\\ \\ \frac{1}{x-1}\mbox{ con }x\to (+1)^{+}\\ \\ \\ \log(x)\mbox{ con }x\to 0^+

sono tutti infiniti nei passaggi al limite che ho considerato, perché tali limiti sono rispettivamente -\infty,\ +\infty,\ -\infty.

Invece

\\ x\mbox{ con }x\to 0\\ \\ \frac{1}{x}\mbox{ con }x\to +\infty\\ \\ \\ \frac{1}{\log(x)}\mbox{ con }x\to 0^+

sono tutti infinitesimi nei passaggi al limite che ho proposto, perché i rispettivi limiti valgono 0.

Se invece il dubbio riguarda la liceità di definire infinita una funzione avente limite -\infty nell'intorno di qualche punto o all'infinito, ovviamente tale funzione genera un infinito nell'intorno considerato.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Chiò, yodit

Re: Limite con esponenziali per x tendente a meno infinito #71053

avt
Chiò
Cerchio
Grazie ancora, ora mi è tutto molto più chiaro, a presto emt
Ringraziano: Omega
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Os