Limite parametrico con Taylor

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Limite parametrico con Taylor #65995

  • -Troy-
  • avt
  • Punto
Ciao emt Ho un limite parametrico da calcolare (obbligatoriamente) con Taylor, del tipo

\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x^{a}}}

chiaramente da valutare al variare di a.


A rischio di dire sciocchezze, credo di riuscire a distinguere i casi:

\bullet\,\, a<0 \implies\lim_{x\to 0}x^{a}\ln{(x+1} ) = 0\cdot 0 = 0

\bullet\,\, a=0\implies \lim_{x\to 0}\ln{(x+1} ) = 0

Mentre se a>0 il limite risulta quello di partenza.

Ora, avendo noto a priori a (ad esempio 2), svilupperei il termine a numeratore fino al secondo ordine in modo da avere un confronto tra infinitesimi e trovare il limite. E per a parametrico?

 
 
 

Re: Limite parametrico con Taylor #66049

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
Ciao Troy emt vediamo un po' come fare a risolvere il limite con parametro:

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x^{a}}

Per a\le 0 il limite è zero e la spiegazione che hai dato va bene, infatti potremmo pensare di porre \alpha= -\beta\mbox{ con }\beta\ge 0 e riscrivere il limite come:

\lim_{x\to 0} x^{\beta}\ln(1+x)= 0

perché entrambi i fattori tendono a zero.

L'utilizzo dello sviluppo di Taylor del logaritmo mi sembra una buona strada emt

\ln(1+x)= x+ o(x)

Da cui si evince la stima asintotica:

\log(1+x)\sim_{x\to 0} x

Per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti il limite di partenza si lascia esprimere come:

\lim_{x\to 0} \frac{x}{x^{a}}= \lim_{x\to 0} x^{1-a} \quad (1)

Ci siamo ricondotti ad un limite fondamentale. Sappiamo infatti che

Se 1-a>0\implies a<1 il limite (1) è 0

Se 1-a=0\implies a= 1 il limite (1) è 1

Se 1-a<0\implies a>1 dobbiamo effettuare un'ulteriore distinzione:

- se a è dispari (e dunque 1-a è pari) e maggiore di 1 allora il limite è +\infty

- se a è pari (e dunque 1-a dispari) e maggiore di 1 allora il limite destro e il limite sinistro non coincidono.

Infatti il limite destro è più infinito, mentre il limite sinistro è meno infinito, possiamo asserire che il limite non esiste.

E' inutile sviluppare ad ordini superiori il logaritmo

Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Iusbe, -Troy-
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Os