Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta

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Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #6567

avt
21zuclo
Frattale
Devo discutere la convergenza semplice e assoluta di una serie tratta da un tema d'esame di Analisi 1 (facoltà di Matematica)

\sum_{n=2}(-1)^n \left(\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}\right)


Questa serie io l'ho svolta così. NON so se è corretto, se ci sono errori per favore me li correggete?


Siccome da definizione, la convergenza assoluta implica la convergenza semplice

|a_n|=\left|\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}\right|=\left|n^n\sqrt[n]{1+\frac{1}{n^n}}-\cos\frac{1}{n+1}\right|=

\sim n^n\frac{1}{2n^n}+\frac{1}{2 (n+1)^2}\sim\frac{1}{2}+\frac{1}{2n^2}

In conclusione \sum \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n^2}\right) è convergente, esi conclude che la serie converge assolutamente ossia semplicemente.

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #6630

avt
Ifrit
Amministratore
Sinceramente non mi è chiaro il tuo ragionamento. Io suggerirei di procedere nel modo seguente.

La funzione coseno è a valori nell'intervallo [-1,+1], dunque da

-1\le \cos\frac{1}{n+1}\le 1

segue che:

-1\le-\cos\frac{1}{n+1}\le 1

Sommiamo membro a membro \sqrt[n]{1+n}:

0<\sqrt[n]{1+n}-1\le\sqrt[n]{1+n}-\cos\frac{1}{n+1}\le \sqrt[n]{1+n}+1

Consideriamo ora la serie:

\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{1+n}-1

Se diverge abbiamo finito, infatti interviene il criterio del confronto. Riscriviamo la serie in questo modo:

\sum_{n=1}^\infty e^{\frac{\log(1+n)}{n}}-1

che è asintoticamente equivalente a

\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(1+n)}{n}

Questa serie diverge positivamente. Quindi anche la nostra serie originale diverge (nota che abbiamo applicato anche il criterio del confronto asintotico).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, 21zuclo, CarFaby, SybilVane

Re: Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #6641

avt
21zuclo
Frattale
Non mi è chiaro dove sommi membro a membro, cosa ottieni?

Cioè, da questa disuguaglianza

0<\sqrt[n]{n+1}-1\leq\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}\leq\sqrt[n]{n+1}+1

cosa ottieni?

E poi una domanda, forse mi sto confondendo io con qualcos'altro ma

\sum\frac{\log(n+1)}{n}}

e proprio \frac{\log(n+1)}{n} non tende a 0?

n va più veloce del \log

Re: Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #6645

avt
Ifrit
Amministratore
Non mi è chiaro dove sommi membro a membro, cosa ottieni?

Cioè, da questa disuguaglianza

0<\sqrt[n]{n+1}-1\leq\sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}\leq\sqrt[n]{n+1}+1

cosa ottieni?

Ho ottenuto che:

\sqrt[n]{n+1}-1\le \sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}

cioè una successione che minora il termine n-esimo della serie. Per il teorema del confronto se la serie

\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{n+1}-1

diverge positivamente allora anche:

\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{n+1}-\cos\frac{1}{n+1}

diverge positivamente. emt

e poi una domanda, forse mi sto confondendo io con qualcos'altro ma

\sum\frac{\log(n+1)}{n}}

e proprio \frac{\log(n+1)}{n} non tende a 0?

n va più veloce del \log

È vero che la successione \frac{\log(n+1)}{n} tende a zero quando n tende a più infinito, ma la serie:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(n+1)}{n}

diverge, per dimostrarlo puoi utilizzare il criterio del confronto:

\log(2)\le \log(n+1)\quad\forall n\in\mathbb{N}_{>0}

da cui dividendo membro a membro per n:

\frac{\log(2)}{n}\le \frac{\log(1+n)}{n}

di conseguenza:

\sum_{n=1}^\infty\frac{\log(2)}{n}=\log(2)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\le\sum_{n=1}^\infty\frac{\log(1+n)}{n}

Osserva che la serie al primo membro è una serie armonica divergente moltiplicata per una costante positiva. Poiché il primo membro diverge lo fa anche il secondo.
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Re: Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #6776

avt
21zuclo
Frattale
Ok, cioè quello che voglio dire è che diverge assolutamente giusto?

Mentre converge semplicemente con il criterio di Leibniz , esatto?

Re: Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #6779

avt
Ifrit
Amministratore
Non hai convergenza assoluta. E per il criterio di Leibniz la serie converge semplicemente. Non capisco perché hai scritto che hai studiato dal punto

\sum_{n}\frac{\log(1+n)}{n}

Cosa hai fatto?

Re: Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #74339

avt
τau
Visitatore
Ciao ragazzi, qualcuno mi spiega gli ultimi due passaggi?
Non capisco quando riscrive la serie nella nuova forma e l'equivalenza asintotica.

Grazie a tutti.

Re: Tema d'esame. Serie numerica convergenza semplice e assoluta #74376

avt
Omega
Amministratore
Se ho compreso i tuoi dubbi (puoi sempre servirti del comando quota) per richiamare una parte di un messaggio precedente), i passaggi che non ti sono chiari sono i seguenti:

Ifrit ha scritto:
Consideriamo ora la serie:

\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{1+n}-1

Riscriviamo la serie in questo modo:

\sum_{n=1}^\infty e^{\frac{\log(1+n)}{n}}-1

che è asintoticamente equivalente a

\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(1+n)}{n}

Questa serie diverge positivamente. Quindi anche la nostra serie originale diverge.

Per quanto riguarda la riscrittura della serie

\sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{1+n}-1=\sum_{n=1}^\infty e^{\frac{\log(1+n)}{n}}-1

basta applicare la definizione di radicale

\sqrt[n]{1+n}=(1+n)^{\frac{1}{n}}

e successivamente applicare l'identità w=e^{\ln(w)}, valida a patto che sia w>0 (ed è il nostro caso)

\sqrt[n]{1+n}=(1+n)^{\frac{1}{n}}=e^{\log\left[(1+n)^{\frac{1}{n}}\right]}=

a questo punto applichiamo una nota proprietà dei logaritmi

=e^{\frac{1}{n}\cdot \log(1+n)}

e ci siamo. emt


Per l'equivalenza asintotica basta osservare che al tendere di n\to +\infty risulta che n è un infinito di successione di ordine superiore a \log(1+n), dunque

\frac{\log(1+n)}{n}\to_{n\to +\infty}0

dunque se consideri

e^{\frac{\log(1+n)}{n}}-1

puoi applicare l'equivalenza asintotica che deriva dal limite notevole dell'esponenziale e dedurne la corrispondente equivalenza asintotica

e^{\frac{\log(1+n)}{n}}-1\sim_{n\to +\infty}\frac{\log(1+n)}{n}

da qui l'equivalenza asintotica della serie con

\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(1+n)}{n}
Ringraziano: CarFaby, Beautiful Mind
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