Sviluppo di Taylor di una funzione con due parametri reali

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#65558
avt
Iusbe
Templare

Sono incappato nello sviluppo in serie di Taylor di una funzione con due parametri mentre svolgevo questo esercizio:

Data la nostra funzione

f(x) = cos(x)−(1−μ x^(2))/(1−β x^(2))

Si arriva allo sviluppo:

f(x) = x^(2) (−μ+β−(1)/(2))+x^(4) ((1)/(24)+μ β−β^(2))+o(x^(5))

Solo che non riesco a ricavarne i passaggi.

Il mio procedimento iniziale è stato di riscrivere la funzione in una forma più comoda:

f(x) = (β x^(2)cos(x)−μ x^(2)−cos(x)+1)/(β x^(2)−1)

Calcolo lo sviluppo di Taylor il coseno:

cos(x) = 1−(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)+o(x)

E quindi vorrebbe dire:

f(x) = (β x^(2) (1−(x^(2))/(2!)+o(x^2))−μ x^(2)−(1−(x^(2))/(2!)+(x^(4))/(4!)+o(x^(4)))+1)/(β x^(2)−1)

Sviluppo i conti ed ho:

f(x) = (β x^(2)−(β x^(4))/(2)−μ x^(2)−1+(x^(2))/(2)−(x^(4))/(24)+o(x^(4))+1)/(β x^(2)−1)

Nel secondo caso ho sviluppato il coseno fino a o(x^(4)) perché se no nel primo sviluppo avrei avuto x^(4) che andava via.

Ora raccolgo per x^(2) e x^(4)

Quindi ho:

f(x) = x^(2) (β−μ−(1)/(2))+x^(4) (−(1)/(24)−(β)/(2))

Che non coincide con quanto scritto nell'esercizio che ho riportato, e poi non mi è chiaro il perché ci sia o(x^(5)) è per il fatto che sto ricavando il massimo ordine infinitesimo?

Dov'è l'errore? Non riesco a capire cosa sbaglio.

Vi ringrazio come sempre per la vostra disponibilità e per tutto ciò che fate per noi!

Grazie davvero di cuore.

Un caro saluto a tutti!

#65569
avt
Omega
Amministratore

Ciao Iusbe,

è presto detto: il tuo errore consiste nel passaggio da

f(x) = (β x^(2)−(β x^(4))/(2)−μ x^(2)−1+(x^(2))/(2)−(x^(4))/(24)+o(x^(4))+1)/(β x^(2)−1)

a

f(x) = x^(2) (β−μ−(1)/(2))+x^(4) (−(1)/(24)−(β)/(2))

Manca un o-piccolo, ma soprattutto...Che fine ha fatto il denominatore? emt

Nota che il denominatore dà un contributo alla funzione del tipo

(1)/(β x^2−1)

che non puoi tralasciare.

Onde evitare pasticci vari, ti consiglio di ricavare lo sviluppo della funzione scrivendola dal principio come

f(x) = cos(x)−(1−μ x^2)/(1−β x^2)

→ f(x) = cos(x)−(1)/(1−β x^2)+μ x^2·(1)/(1−β x^2)

così puoi ricondurti gli sviluppi notevoli del coseno e della funzione g(t) = (1)/(1−t). In questo modo puoi arrivare facilmente allo sviluppo del sesto ordine

f(x) = x^2(−μ+β−(1)/(2))+x^4((1)/(24)+μβ−β^2)+(−β^3+β^2μ−(1)/(720))x^6+o(x^6)

e da qui concludere è semplice. Risolvi il sistema lineare per l'annullamento dei primi due termini

−μ+β−(1)/(2) = 0 ; (1)/(24)+μβ−β^2 = 0

e se la coppia di soluzioni, che è β = (1)/(12), μ = −(5)/(12), non annulla il coefficiente del termine di grado 6, allora tali valori fanno sì che la funzione generi un infinitesimo di ordine 6 nell'intorno di x = 0. Che poi è quello massimo.

Infine

poi non mi è chiaro il perché ci sia o(x^(5)) è per il fatto che sto ricavando il massimo ordine infinitesimo?

Nella D&R del link ho scritto o(x^5) per indicare che il termine di grado 5 è nullo nello sviluppo. Si tratta di uno sviluppo che ha i termini di grado dispari nulli e non nulli solo i termini di grado pari.

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, Iusbe
#65571
avt
Iusbe
Templare

Accidenti è vero! E... il denominatore l'ho nascosto sotto il tappeto :(

Quindi sono 3 sviluppi da eseguire di cui uno con il coseno e due con la frazione.

Alla fine l'unica cosa a cui bisognava fare molta attenzione era lo scomporre la funzione in modo da favorire la risoluzione, giusto?

Però non mi è ben chiaro il discorso finale dei termini nulli...

Grazie infinite per l'aiuto Omega!

#65588
avt
Omega
Amministratore

Prego!

Tieni a mente la definizione di o-piccolo. Per fissare le idee ragioniamo con un o-piccolo per x → 0

o(f(x)) per x → 0 è una qualsiasi funzione g(x) tale che

lim_(x → 0)(g(x))/(f(x)) = 0

Dire quindi che g(x) è un o(f(x)) per x → 0 significa che g(x) è un infinitesimo di ordine superiore a f(x) per x → 0.

Ora, consideriamo la seguente funzione

h(x) = x^2+x^4+x^6

Ragionando sugli ordini di infinitesimo, al tendere di x → 0 posso decidere di riscriverla come

h(x) = x^2+x^4+o(x^4)

Infatti x^6 è un o(x^4) per x → 0.

D'altra parte potremmo anche scrivere

h(x) = x^2+x^4+o(x^5)

perché x^6 è anche un o(x^5) per x → 0.

Se in uno sviluppo di Taylor-Mc Laurin ci arrestiamo all'ordine n-esimo, solitamente chiudiamo lo sviluppo con un o(x^n) (resto di Peano).

Se procediamo fino all'ordine (n+1)-esimo, e se risulta che il termine di grado (n+1) è nullo, allora l'ultimo termine non nullo è quello di grado n ma chiuderemo lo sviluppo con un o(x^(n+1)).

Spero che l'esempio renda la situazione. emt

Ringraziano: CarFaby, Iusbe
#65606
avt
Iusbe
Templare

Ciao Omega, grazie per la tua risposta e per la tua disponibilità come sempre

Allora...

Ho sostituito μ e β nel coefficiente di grado 6, e il risultato non è 0, quindi non si annulla e il grado massimo è x^(6).

Avendo inoltre nulli gli esponenti dispari e, x^(6) è o(x^(5)), nello sviluppo scrivo o(x^(5)) anche se come detto prima il grado massimo è 6.

Giusto?

Se invece si fosse annullato, ma non si fosse annullato l'esponente di grado massimo che lo precedeva ossia x^(4), avrei avuto grado massimo di ordine x^4 stesso?

Mi spiego meglio, supponendo che x^(6) si sia annullato, il termine maggiore rimasto è x^(4) che sarebbe stato quindi il mio grado massimo. O no?

#65616
avt
Omega
Amministratore

Dunque...

Iusbe ha scritto:

Ho sostituito μ e β nel coefficiente di grado 6, e il risultato non è 0, quindi non si annulla e il grado massimo è x^(6).

Dunque hai la risposta: il massimo ordine di infinitesimo è x^6 scegliendo i suddetti valori di μ, β.

Avendo inoltre nulli gli esponenti dispari e, x^(6) è o(x^(5)), nello sviluppo scrivo o(x^(5)) anche se come detto prima il grado massimo è 6.

Attenzione: in un primo momento puoi fermarti con un ordine di sviluppo pari a 5, e dunque fermarti al o(x^5).

Quando noti che ci sono dei valori dei due parametri che annullano i termini di grado 2 e 4, e che i termini di grado dispari sono nulli, non puoi concludere automaticamente che il massimo ordine di infinitesimo è 6.

Devi assicurarti che i valori scelti non annullino il coefficiente del termine di grado 6, dunque lo sviluppo risolutivo deve arrivare al grado 6.

Se invece si fosse annullato, ma non si fosse annullato l'esponente di grado massimo che lo precedeva ossia x^(4), avrei avuto grado massimo di ordine x^4 stesso?

Non è l'esponente che si annulla, bensì il coefficiente.

Se avessimo avuto il coefficiente del termine di grado 2 nullo per un'unica coppia (μ,β) e per tale scelta avessimo avuto il coefficiente del termine di grado 4 non nullo e quello del termine di grado 6 nullo, allora avremmo avuto come ordine di infinitesimo 4.

Tutti i valori che non annullano il coefficiente di grado 2 fanno sì che la funzione abbia come ordine di infinitesimo 2.

I valori che annullano il coefficiente di grado 2 e che non annullano il coefficiente di grado 4 fanno sì che l'ordine di infinitesimo sia 4.

I valori che annullano i coefficienti di grado 2 e 4 e che non annullano il coefficiente di grado 6 fanno sì che l'ordine di infinitesimo sia 6.

...e così via.

Ringraziano: Iusbe
#65618
avt
Iusbe
Templare

Quindi ricapitolando, μ e β annullano il coefficiente di grado 2 e di grado 4, ma non 6.

Per questo motivo ho grado massimo che è 6.

Se avesse annullato 2 e 6 avrei avuto grado massimo 4 corretto?

Se invece avessi avuto i termini 4 e 6 che non si annullavano? Dovevo tenere conto del coefficiente di grado maggiore?

#65620
avt
Omega
Amministratore

Iusbe ha scritto:

Quindi ricapitolando, μ e β annullano il coefficiente di grado 2 e di grado 4, ma non 6.

Per questo motivo ho grado massimo che è 6.

Ok!

Se avesse annullato 2 e 6 avrei avuto grado massimo 4 corretto?

Ti poni la domanda sbagliata.

Appena trovi dei valori dei parametri che non annullano il coefficiente di un termine ma annullano tutti i precedenti, allora sai che per quei valori dei parametri l'ordine di infinitesimo è quello del primo termine che incontri con coefficiente non nullo.

Se invece avessi avuto i termini 4 e 6 che non si annullavano? Dovevo tenere conto del coefficiente di grado maggiore?

No, naturalmente del grado minore. Riflettici... Il primo coefficiente non nullo che incontri indica il "livello di sbarramento". Tutti i successivi hanno potenze superiori, dunque generano infinitesimi trascurabili rispetto al primo termine non nullo. Non ti devi nemmeno porre la domanda: "si annullano o no?"

Ringraziano: Iusbe
#65621
avt
Iusbe
Templare

Diamine hai ragione!

Mi sono fatto confondere dal fatto che si parla del grado massimo, però:

grado massimo ≠ coefficiente con grado massimo.

Infatti come dici te, non appena trovo che i valori annullano il coefficiente di grado 2 non ha senso andare avanti, perché sono potenze di grado maggiore che finirebbero in o(x^(2)) (citazione prof. analisi I) in quanto infinitesimi di ordine trascurabile come hai detto te. Ora è tutto più chiaro!

Grazie mille per la lezione Omega!

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