Limite con quantità positiva fratto zero

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
#65485
avt
ele88
Punto

Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo il segno del risultato di questo limite. Alla fine ottengo una quantità positiva su zero e dovrebbe venire −∞ mentre a me viene +∞.

Il limite è questo:

lim_(x → ln(2)) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x))

Ho sostituito la x con il logaritmo

lim_(x → ln(2)) (e^(2ln(2))+1)/(4−e^(2ln(2)))

ottenendo così

lim_(x → ln(2)) (2·2+1)/(4−2·2)

alla fine ottengo svolgendo i conti

lim_(x → ln(2)) (5)/(0)

che dà +∞

Da qui la mia domanda: perchè −∞ ?

Grazie mille!!!

#65518
avt
Omega
Amministratore

Ciao Ele88,

occhio, ci sono diverse cose da sistemare...

Dopo averti risposto in quest'altro topic (dominio di funzione fratta con e) ne deduco che stai centellinando uno studio di funzione smembrandone i vari passaggi (hai fatto bene!).

Di là abbiamo visto che l'unico punto in cui non è definita la funzione

f(x) = (e^(2x)+1)/(4−e^(2x))

è x = ln(2). Dunque nel calcolo dei limiti agli estremi del dominio vogliamo studiare il comportamento della funzione nell'intorno di tale punto.

Dovremmo a tal proposito calcolare due limiti, e non uno solo: il limite da sinistra

lim_(x → [ln(2)]^−) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x))

e quello da destra

lim_(x → [ln(2)]^+) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x))

Obiettivo: stabilire se è presente o meno un asintoto verticale, quello di equazione x = ln(x).

Ma facciamo finta di niente, e riproponiamoci di calcolare il limite

lim_(x → ln(2)) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x))

La prima cosa da fare è provare per sostituzione diretta. Qui però non dobbiamo scrivere i conti, li facciamo a parte perché si tratta di ragionamenti non rigorosi e puramente quantitativi!

Inoltre, quando sostituiamo il valore di passaggio al limite, non ha senso continuare a riscrivere il limite.

Facciamo i conti a parte. Sostituendo x = ln(2) ricadiamo in una situazione che compete l'algebra di infiniti e infinitesimi. Ci troveremmo con

(5)/(0)

Infinito? Nì. Questo è il punto in cui capiamo che non ha senso calcolare il limite per x → ln(2), perché altrimenti non possiamo esprimerci in merito al segno dell'infinito.

Morale: dopo la prima osservazione quantitativa, impostiamo due diversi limiti

lim_(x → [ln(2)]^−) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x)) ; lim_(x → [ln(2)]^+) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x))

e in casi del genere dobbiamo prestare molta attenzione al segno degli infinitesimi e degli infiniti che vengono generati. Procediamo con il primo caso

lim_(x → [ln(2)]^−) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x)) =

e applichiamo le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi (riportiamo i calcoli non rigorosi tra parentesi quadre)

= [(e^(2(ln(2))^−)+1)/(4−e^(2(ln(2))^−))]

Grazie all'identità logaritmo-esponenziale

e^(ln(y)) = y valida per y > 0

e dato che l'esponenziale in base e è crescente, a sinistra di ln(2) il termine e^(2x) vale poco meno di 4. Più precisamente

e^(2[ln(2)]^(−)) = 4^−

dunque

4−e^(2[ln(2)]^(−)) = 4−4^−

quattro meno "poco meno di quattro" è una quantità poco maggiore di zero, ossia

4−e^(2[ln(2)]^(−)) = 4−4^− = 0^+

In definitiva, per x → [ln(2)]^− il rapporto

(e^(2x)+1)/(4−e^(2x))

si riduce a

(quantita' positiva)/(0^+) = +∞

Ragionamenti analoghi per il limite da destra permetteranno di concludere che

lim_(x → [ln(2)]^+) (e^(2x)+1)/(4−e^(2x)) = −∞

Quindi a sinistra del punto x = ln(2) la funzione diverge all'infinito positivamente, a destra del medesimo punto diverge all'infinito negativamente. Il grafico lo conferma.

Ringraziano: Galois, CarFaby, Iusbe, ele88
  • Pagina:
  • 1