Limite esponenziale trigonometrico da sinistra o da destra

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#65302
avt
luca292
Punto

Avrei un problema con un limite trigonometrico ed esponenziale da calcolare da destra

lim_(x → ((π)/(3))^+) e^((1)/(2 cos(x)−1))

Insomma non riesco a capire come mai quando x tende a π/3 da destra il denominatore diviene uno zero più.

Sopratutto non riesco a capire come mi possa aiutare a svolgere il prodotto 2cos(x), sapere che x tende a π/3 da destra.

Qualcuno potrebbe scrivere il suo ragionamento chiarendo in particolare quest'ultimo passaggio.

Grazie per l'aiuto

#65342
avt
Galois
Amministratore

Ciao Luca,

da quello che scrivi si percepiscono profonde incomprensioni, ti invito pertanto a leggere:

cosa sono i limiti

Limite infinito per x che tende ad un valore finito

Regole per il calcolo dei limiti

Algebra degli infiniti e degli infinitesimi

Una volta fatto torna qui e guardiamo il limite

lim_(x → ((π)/(3))^(+))e^((1)/(2cos(x)−1)) =

che possiamo riscrivere come

= e^(lim_(x → ((π)/(3))^(+))(1)/(2cos(x)−1))

Concentriamo la nostra attenzione sul limite all'esponente

lim_(x → ((π)/(3))^(+))(1)/(2cos(x)−1)

ed osserviamo che procedendo per sostituzione diretta giungiamo a:

= [(1)/(2·(1)/(2)−1)] = [(1)/(0)]

L'espressione ottenuta non è un valore definito, ma assume "senso" nel contesto degli infiniti e degli infinitesimi: teniamo a mente infatti che

[(1)/(0^(+))] = +∞ e [(1)/(0^(−))] = −∞

In questo caso dobbiamo comprendere qual è il segno dell'infinitesimo al denominatore. Prima di continuare ti invito a riprendere visione di questa tua stessa discussione:

Limite del coseno per x che tende a pi greco terzi

Nel caso in esame, dall'andamento della funzione coseno si evince facilmente che

lim_(x → ((π)/(3))^(+))cos(x) = ((1)/(2))^−

pertanto

lim_(x → ((π)/(3))^(+))(2cos(x)−1) = [2·((1)/(2))^(−)−1] = 0^(−)

in definitiva

lim_(x → ((π)/(3))^(+))(1)/(2cos(x)−1) = [(1)/(0^(−))] = −∞

Morale della favola il limite di partenza è zero:

lim_(x → ((π)/(3))^(+))e^((1)/(2cos(x)−1)) = [e^((1)/(0^−))] = [e^(−∞)] = 0

Il risultato si deduce dall'andamento della funzione esponenziale.

Metodo alternativo

Possiamo calcolare il limite ricorrendo ad una particolare sostituzione. Partiamo da

lim_(x → ((π)/(3))^(+))e^((1)/(2cos(x)−1)) =

e poniamo

y = (1)/(2cos(x)−1)

Quando x che tende a ((π)/(3))^(+) la variabile y tende a −∞ pertanto possiamo riesprimere il limite nella forma equivalente

lim_(x → ((π)/(3))^(+))e^((1)/(2cos(x)−1)) = lim_(y → −∞) e^y = 0

Approfondimento: se invece avessimo avuto

lim_(x → ((π)/(3))^(−))e^((1)/(2cos(x)−1)) =

riseguendo lo stesso ragionamento, giungiamo al risultato

= lim_(x → ((π)/(3))^(−))e^((1)/(2cos(x)−1)) = +∞

Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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