Verificare se è corretto. Lim di successione con parametro. Tema esame

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Verificare se è corretto. Lim di successione con parametro. Tema esame #6478

avt
21zuclo
Frattale
Questo è un limite di un tema d'esame della mia facoltà, l'ho svolto ma non sono sicuro che sia giusto. Guardatemelo per favore e ditemi se è giusta la sua risoluzione.

Al variare del parametro \alpha, stabilire se esiste e, in caso affermativo calcolare

\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n-\sqrt{n^2+3}\cos\frac{1}{n}}{n^\alpha\ln((\frac{2}{\pi})\arctan n^3)}

l'ho svolto così

numeratore
n-n[(1+\frac{3}{n^2})^{\frac{1}{2}}\cos \frac{1}{n}]\rightarrow n-n[(1+\frac{3}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))(1-\frac{1}{2 n^2}+o(\frac{1}{n^2}))]

ho fatto la moltiplicazione all'interno della parentesi quadra mettendo nell'o-piccolo potente superiori a n^2

ottenendo n-n[1-\frac{1}{2 n^2}+\frac{3}{2 n^2}+o(\frac{1}{n^2})]= -\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})

denominatore
n^\alpha\ln(\frac{2}{\pi} \frac{\pi}{2}-\frac{2}{\pi}\arctan \frac{1}{n^3})= n^\alpha\ln(1-\frac{2}{\pi n^3}+o(\frac{1}{n^3}))\sim \frac{n^\alpha 2}{\pi n^3} = \frac{2}{\pi n^{3-\alpha}}

ora mettendo insieme numeratore e denominatore
\frac{-\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})}{\frac{2}{\pi n^{3-\alpha}}}= -\frac{2}{\pi} \frac{1}{n^{-\alpha+4}}

ora qui manca solamene di distinguere i vari casi di -\alpha+4 ma è giusta la risoluzione del limite?
Ringraziano: Cioppi
 
 

Re: Verificare se è corretto. Lim di successione con parametro. Tema esame #6517

avt
Omega
Amministratore
Ciao 21Zuclo, la risoluzione è corretta fino al penultimo passaggio. Prima di questo mancava solamente un 2 nel denominatore dello sviluppo della radice, ma era chiaro che era una dimenticanza nella stesura del testo perché successivamente lo avevi riportato..Tutto ok: l'ho aggiunto editando il post (gli utenti hanno possibilità di editare i propri post solamente entro l'ora successiva alla pubblicazione).

Ora veniamo all'ultimo passaggio: hai commesso un errorino banale, niente di preoccupante, però è un peccato perché compromette tutto lo svolgimento dell'esercizio! emt

Quando arrivi a

\frac{-\frac{1}{n}}{\frac{2}{\pi n^{3-\alpha}}}

hai dimenticato un "-":

\frac{-\frac{1}{n}}{-\frac{2}{\pi n^{3-\alpha}}}

e questo diventa

\frac{\pi}{2}\frac{n^{3-\alpha}}{n}=\frac{\pi}{2}n^{2-\alpha}

da qui lo studio del limite al variare di \alpha è facile.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, 21zuclo

Re: Verificare se è corretto. Lim di successione con parametro. Tema esame #6525

avt
21zuclo
Frattale
cavolo questi errori di distrazione!!!
Cmq grazie.. emt
Ringraziano: Omega

Re: Verificare se è corretto. Lim di successione con parametro. Tema esame #6530

avt
Omega
Amministratore
Figurati emt
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Os