Limiti da sinistra e da destra + intersezioni con assi

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#61877
avt
Greg917
Punto

Salve ragazzi, ho qualche difficoltà con il calcolo di un limite da sinistra e da destra e inoltre vi chiedo una correzione per le intersezioni con gli assi della seguente funzione:

f(x) = (x+1)e^(x)/(x−1)

Ho iniziato con il campo di esistenza, che corrisponde a tutto R escluso il valore in cui non vale la frazione che sarebbe x = 1

Ho trovato le intersezioni con gli assi e ricavo i 2 punti P(0,1) e T(0,1).

Inizio a bloccarmi nello studio dei limiti agli estremi, in particolare con il limite da sinistra

lim_(x → 1^−)f(x)

Faccio la sostituzione t = x−1, e svolgendo i calcoli non mi viene 0 come dovrebbe essere (stando al grafico della funzione).

Chiedo venia se ho sbagliato qualcosa nelle formule..spero si capisca,se qualcuno è disposto a discuterne insieme e a risolverlo insieme mi sarebbe molto utile, vi ringrazio in anticipo!

#61887
avt
Omega
Amministratore

Ciao Greg917 emt

Per il dominio della funzione, tutto ok. L'unica condizione da imporre riguarda il non annullamento del denominatore all'esponente

Dom(f) = (−∞,+1) U (+1,+∞)

Per le intersezioni con gli assi non capisco perché riporti due volte lo stesso punto (o forse lo capisco). In ogni caso non è corretto.

Cerchi le intersezioni con l'asse delle x e dunque risolvi l'equazione

f(x) = 0 → (x+1)e^((x)/(x−1)) = 0

dato che il termine esponenziale è sempre positivo sul proprio dominio, possiamo cancellarla. Ci rimane

x+1 = 0 → x = −1

Quindi abbiamo (−1,0) come intersezione con l'asse delle x.

Per l'eventuale intersezione con asse delle y ci basta valutare la funzione con x = 0. Otteniamo

f(0) = (0+1)e^((0)/(0−1)) = e^0 = 1

dunque (0,1).

Per quel che concerne i limiti all'estremo finito del dominio, dobbiamo calcolare due limiti: uno da sinistra, uno da destra.

Da sinistra

lim_(x → 1^−)(x+1)e^((x)/(x−1))

lo possiamo calcolare semplicemente applicando le regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi. Attenzione che quelle che sto per scrivere sono pseudo-uguaglianze, non sono vere e proprie uguaglianze

lim_(x → 1^−)(x+1)e^((x)/(x−1)) = [2·e^((1)/(1^−−1))] = [2·e^((1)/(0^−))] = [2·e^(−∞)] = [2·0^+] = 0^+

per il penultimo passaggio basta tenere conto dell'andamento dell'esponenziale (vedi grafico della funzione esponenziale).

lim_(x → 1^−)(x+1)e^((x)/(x−1)) = 0^+

Per il limite da destra ci si comporta in modo analogo

lim_(x → 1^+)(x+1)e^((x)/(x−1)) = [2·e^((1)/(1^+−1))] = [2·e^((1)/(0^+))] = [2·e^(+∞)] = +∞

Poiché il limite destro e il limite sinistro sono distinti possiamo concludere che il limite bilatero non esiste.

Ringraziano: CarFaby, Greg917
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