Calcolare un limite da sinistra, ma perché

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Calcolare un limite da sinistra, ma perché #61848

avt
Pond
Punto
Sto cercando di calcolare un limite da sinistra ma non capisco in quale punto diventa rilevante il fatto che vada calcolato da sinistra (e non da entrambe le parti in un colpo solo)

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2x^2})}{\arctan(x)}

Mi riconduco facilmente ai limiti notevoli, ma non capisco in che punto devo tener conto che siamo in un intorno sinistro di 0 né perché, se x tendesse semplicemente a 0, il limite non esisterebbe.


La soluzione deve essere -\sqrt{2}.
 
 

Calcolare un limite da sinistra, ma perché #61880

avt
Ifrit
Amministratore
Il limite sinistro

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2x^2})}{\arctan(x)}=(\bullet)

si presenta nella forma di indecisione \left[\frac{0}{0}\right] e può essere sciolta utilizzando i limiti notevoli. In particolare interverranno:

- il limite notevole del seno in forma generale

\lim_{h(x)\to 0}\frac{\sin(h(x))}{h(x)}=1

applicabile ogniqualvolta che l'argomento del seno è infinitesimo;

- il limite notevole dell'arcotangente

\lim_{x\to 0}\frac{\arctan(x)}{x}=1

Al fine di ricondurci al limite notevole del seno moltiplichiamo e dividiamo per \sqrt{2x^2} e scriviamo il limite dato nella forma equivalente

(\bullet)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2x^2})}{\sqrt{2x^2}}\cdot \frac{\sqrt{2x^2}}{\arctan(x)}=(\bullet\bullet)

Per definizione di valore assoluto e per le proprietà delle radici si ha che

\sqrt{2x^2}= \sqrt{2}\sqrt{x^2}= \sqrt{2}|x|

e dunque il limite diventa

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2}|x|)}{\sqrt{2}|x|}\cdot \frac{\sqrt{2}|x|}{\arctan(x)}=

Ora il punto più delicato: x\to 0^{-} significa che la variabile x si avvicina a 0 per valori negativi, pertanto |x|=-x in accordo con la definizione di valore assoluto.

Tale osservazione ci permette di esprimere il limite dato nella forma

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2}(-x))}{\sqrt{2}(-x)}\cdot \frac{\sqrt{2}(-x)}{\arctan(x)}=

e scrivendo il limite come prodotto di limiti otteniamo:

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2}(-x))}{\sqrt{2}(-x)}\cdot \lim_{x\to 0^{-}}-\frac{\sqrt{2}x}{\arctan(x)}

Grazie al limite notevole del seno generalizzato possiamo asserire che il primo limite è 1

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2} (-x))}{-\sqrt{2}x}= 1

questo perché l'argomento del seno è infinitesimo, infatti:

\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt{2}(-x)= 0

Grazie al limite notevole dell'arcotangente invece scriviamo quanto segue:

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-\sqrt{2}x}{\arctan(x)}= -\sqrt{2}\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{\arctan(x)}= -\sqrt{2}

I risultati di tali limiti ci permettono di concludere che il risultato del limite iniziale è -\sqrt{2}:

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(\sqrt{2}(-x))}{\sqrt{2}(-x)}\cdot \lim_{x\to 0^{-}}-\frac{\sqrt{2}x}{\arctan(x)}= -\sqrt{2}

Probabilmente hai commesso uno dei classici errori matematici.

Osserviamo che se x\to 0^{+} allora |x|= x e i segni sarebbero cambiati.

Il limite destro e il limite sinistro in zero sono diversi, quindi non esiste il limite bilatero per x che tende a zero.

Leggi la lezione su come utilizzare i limiti notevoli in modo furbo.
Ringraziano: CarFaby, Pond, Marise

Calcolare un limite da sinistra, ma perché #61884

avt
Pond
Punto
Per la miseria...grazie, non ne sarei mai uscito.
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Os