Dimostrazione del teorema di Weierstrass

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Dimostrazione del teorema di Weierstrass #61639

avt
vila994
Punto
Ciao a tutti! Apro questo topic per risolvere alcuni dubbi sul teorema di Weierstrass e per chiedervi una chiara dimostrazione del teorema di Weierstrass.

Innanzitutto ci tenevo a ringraziare lo staff perché soprattutto grazie ai vostri aiuti ho superato lo scritto!


Allora il teorema di Weierstrass dice che data una funzione continua (anche limitata?) in un compatto [a,b], esistono due punti x_{1} , x_{2} tali che f(x_{1})<f(x)<f(x_{2}) e quindi la funzione è dotata di massimo e minimo, e più precisamente f(x_{1}) è minimo e x_{1} è punto di minimo, mentre f(x_{2}) è massimo e x_{2} è punto di massimo.


Vi chiederei la dimostrazione integrale del teorema, e anche se potete soffermarvi in particolare sui seguenti dubbi.

Posto M=sup \left\{f(x)\ :\ x \in \left[a,b\right]\right\} (e qui il mio primo dubbio: perché si fa ciò?) verifichiamo che esiste una successione x_{n} tale che f(x_{n}) \longrightarrow M

Ora si considerano i due casi quando M=+\infty e quando M<+\infty
Quello che non mi è particolarmente chiaro di tutto il teorema è questo passo:

se M=+\infty per le proprietà dell'estremo superiore, \forall n \in N\ \exists x_{n} \in [a,b]\ :\ f(x_{n})>n e perciò f(x_{n}) \to M=+\infty.

Non riesco proprio a capire perché dalla proprietà dell'estremo superiore scritta sopra si ricava che f(x_{n}) \longrightarrow M.
Ringraziano: Totto
 
 

Dimostrazione del teorema di Weierstrass #61716

avt
Omega
Amministratore
Ciao Vila994,

l'enunciato del teorema di Weierstrass: una funzione continua f definita su un compatto ammette in esso un massimo ed un minimo assoluti.


Risposte ai tuoi dubbi e problemi del tuo enunciato

- le uniche ipotesi richieste sulla funzione sono la continuità e il fatto che sia definita su un insieme compatto, il che in \mathbb{R} equivale a dire: insieme chiuso e limitato.

- l'ipotesi di insieme come intervallo è troppo restrittiva. Puoi considerare un qualsiasi chiuso e limitato di \mathbb{R}. Probabilmente si tratta di una scelta esemplificativa per rendere la dimostrazione più digeribile.

La limitatezza della funzione non è un'ipotesi, semmai è la tesi.

- La tesi è incompleta. Il succo del teorema di Weierstrass è l'esistenza di un massimo e di un minimo assoluti.

- Inoltre, se lo enunci scrivendo che esistono un punto di minimo ed un punto di massimo x_1,x_2, devi essere preciso fino in fondo: esistono almeno un punto di minimo ed un punto di massimo assoluti.

Il valore massimo assoluto e il valore minimo assoluto della funzione sono chiaramente unici; non sono necessariamente unici i punti in cui la funzione li realizza.

Un esempio? Considera la funzione costante f(x)=1 sull'intervallo [0,10]. Essa soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass e ammette un valore massimo assoluto (1) e un valore minimo assoluto (1) coincidenti. I punti che realizzano il valore massimo assoluto e il valore minimo assoluto sono infiniti.


Dimostrazione del teorema di Weierstrass

Primo: perché si considera l'estremo superiore della funzione sull'insieme? Questa è una domanda che devi porti quando hai capito la dimostrazione. Prima capisci come funziona, poi ti interroghi sul perché si è scelto di dimostrare la tesi in quel modo.
Non cadere nella tentazione di voler capire tutto subito, perché rischi di fare solo confusione e finisce che non capisci nulla.


Posto M=\sup_{x\in [a,b]} f(x) verifichiamo che esiste una successione x_{n} \in \left[a,b\right]\ :\ f(x_{n})\rightarrow M .


Supponiamo per assurdo che la funzione non sia limitata, ovvero che M=+\infty.

Il caso di estremo superiore infinito è un caso d'assurdo. Dobbiamo arrivare a dimostrare che l'estremo superiore non può essere infinito (dobbiamo infatti provare l'esistenza di un massimo e di un minimo assoluti).

Per definizione di estremo superiore, comunque scegliamo un intorno di +\infty esistono sempre valori della funzione che cadono in tale intorno.

Più precisamente, comunque scegliamo un intorno di +\infty della forma (n, +\infty), esisterà sempre un punto x_n\in [a, b] tale che f(x_n)\in (n, +\infty), ossia f(x_n)> n.

In questo modo possiamo costruire una successione di punti \{x_n\}_n \subset [a,b] con la seguente proprietà: \forall\ n risulta che f(x_n)> n.


D'altra parte, dato che \{x_n\}_n \subset [a,b] è una successione limitata, per il teorema di Bolzano Weierstrass esiste una sottosuccessione \{x_{n_j} \}_j convergente. Chiamiamo il suo limite \overline{x }

x_{n_j}\to_{j \to +\infty}\overline{x}

per continuità della funzione f

f(x_{n_j})\to_{j \to +\infty}f(\overline{x})

D'altra parte x_{n_j } è una successione estratta di \{x_n \}_n, dunque vale la condizione f(x_{n_j})> n_j.

Quindi da un lato abbiamo f(x_{n_j}) \to_{j\to +\infty}f(\overline{x}), dall'altro abbiamo f(x_{n_j}) \to +\infty per confronto.

Assurdo per la continuità di f.


Ora consideriamo il caso in cui M \in \mathbb{R} \ :\ f(x) \leq M\ \forall\ x \in \left[a,b\right].

Dunque per definizione di estremo superiore

\forall\ \varepsilon > 0,\ \exists x_{\varepsilon} \in \left[a, b\right]\ :\ M-\varepsilon<f(x_{\varepsilon})<M

Scelto \varepsilon = \frac{1}{ n},\ \exists x_{n} \in \left[a,b\right]\ :\ f(x_{n})>M-\frac{1}{n}

dove si considera come raggio \varepsilon = \frac{1}{n}, quindi per la proprietà dell'estremo superiore possiamo trovare almeno un punto che chiamiamo x_n tale per cui M-\frac{1}{n}<f(x_n)< M.

Si costruisce così una successione \{x_n \}_n di punti che soddisfano la precedente proprietà. Tale successione è limitata nell'intervallo [a, b].

Per Bolzano-Weierstrass esiste un'estratta x_{n_{k }} convergente a un punto x_{0} \in \left[a, b\right]. Tale punto appartiene ad [a, b] perché è un insieme chiuso, dunque contiene tutti i propri punti di accumulazione.


Poiché f è continua f(x_{n_{k}})\Rightarrow f(x_{0 }) e di conseguenza

M = \lim_{n}{f(x_{n})} = \lim_{k}{f(x_{n_{k}}}) = f(x_{0 })

Ciò dimostra che f(x_{0})=M=sup_{x\in [a,b]} f(x ).


Dato che esiste un punto in cui la funzione assume il valore M, esso non è solo estremo superiore ma anche massimo assoluto della funzione sull'intervallo.


Per il minimo assoluto si ragiona in maniera del tutto analoga.
Ringraziano: CarFaby, StefanoF, kiwi, kelia, DamunaTaliffato, pierodv
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