Limite con arcotangente, differenza e De l'Hopital

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Limite con arcotangente, differenza e De l'Hopital #61456

avt
Ticio
Cerchio
Ciao, devo risolvere questo limite dato da una differenza con arcotangente: ho provato a risolverlo in diversi modi, tra cui de l'Hopital, ma non ho concluso nulla.

\lim_{x\to +\infty}\left[(x-1)\arctan(x)-\frac{\pi}{2} x\right]

Forma indeterminata [+\infty-\infty]. Allora:

- Non riesco a ricondurmi a nessun limite notevole.

- Con Taylor mi avvicino alla soluzione per poi avere un'altra forma indeterminata del tipo [0\cdot \infty].

- Ho cercato anche qualche proprietà trigonometrica ma nulla.

- Con De l'Hopital peggio che andar di notte!

Come posso fare? Anche solo un suggerimento, grazie.
 
 

Limite con arcotangente, differenza e De l'Hopital #61464

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ticio,

credo che il teorema di de l'Hopital sia la soluzione meno dolorosa.

Prima però dobbiamo metterci nella condizione di poterlo applicare. Procediamo per sostituzione e poniamo x=\frac{1}{y}, ossia y=\frac{1}{x}, dunque y\to 0^+ al tendere di x\to +\infty.

Il limite

\lim_{x\to +\infty}\left[(x-1)\arctan(x)-\frac{\pi}{2} x\right]=

diventa

=\lim_{y\to 0^+}\left[\left(\frac{1}{y}-1\right)\arctan\left(\frac{1}{y}\right)-\left(\frac{\pi}{2}\right)\frac{1}{y}\right]=

e con un paio di calcolo possiamo riscriverlo nella forma

=\lim_{y\to 0^+}\left[\frac{(1-y)\arctan\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{\pi}{2}}{y}\right]=\left[\frac{0}{0}\right]

Ci siamo, proviamo ad applicare de l'Hopital, facendo molta attenzione al calcolo della derivata del numeratore. Lì bisogna applicare la regola per la derivata del prodotto, il teorema per la derivata della funzione composta e sapere qual è la derivata dell'arcotangente

=\lim_{y\to 0^+}{\frac{-\arctan\left(\frac{1}{y}\right)+(1-y)\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{y^2}}\cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right)-0}{1}}=

Riscriviamolo in una forma comprensibile

=\lim_{y\to 0^+}{-\arctan\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{1-y}{y^2+1}}=

e a questo punto il limite è facile facile, basta procedere con le regole per infiniti e infinitesimi e concludere scrivendo il risultato

=-\frac{\pi}{2}-1

Ecco fatto.
Ringraziano: CarFaby, Ticio

Limite con arcotangente, differenza e De l'Hopital #61466

avt
Ticio
Cerchio
Ma dai, non l'avrei mai detto che questo limite sarei riuscito a risolverlo con De l'Hopital. Non si finisce mai d'imparare.
Ringraziano: Omega
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Os