Problema con i limiti da sinistra e da destra per asintoti verticali

Ciao a tutti, mi sono arenato nel calcolo degli asintoti verticali di una funzione e più precisamente ho difficoltà a calcolare i limiti da sinistra e da destra con i più e meno.

Ho la seguente funzione:

ho trovato il dominio e il segno e poi sono passato alla ricerca degli asintoti.

Per quanto riguarda gli asintoti orizzontali, ho un problema con il logaritmo del modulo, però, visto che posso fare solo una domanda, preferisco che risolviate un problema che ho con gli asintoti verticali.

Innanzitutto la funzione non è definita in (, , ), quindi ho fatto i relativi limiti.

Non ho avuto problemi, eccetto per il limite per :

essendo in valore assoluto, ed essendo argomento del logaritmo, la considero come , quindi il logaritmo di dovrebbe essere

(questo è un ragionamento un po' forzato, ma non riesco a trovare una alternativa valida) quindi il limite dovrebbe essere

=

invece il risultato dovrebbe venire +infinito! Dove sbaglio?

Ciao Niko_1990,

leggendoti ho compreso i tuoi dubbi fino in fondo perché i limiti coinvolti sono semplici dal punto di vista teorico (è sufficiente ricorrere alle regole per infiniti e infinitesimi), ma dannatamente pericolosi all'atto pratico. Bisogna fare molta ma molta attenzione a come si comportano "i più e i meno".

Prima partiamo dalle cose facili.

Il dominio della funzione è proprio . Lo si trova semplicemente imponendo che il denominatore sia diverso da zero e richiedendo che il logaritmo a denominatore esista. A tal proposito dovremmo richiedere che l'argomento sia strettamente maggiore di zero, ma essendo posto in valore assoluto dobbiamo limitarci a richiedere che sia diverso da zero

Dato che la funzione è definita in un intorno di e di , ha senso studiare l'esistenza di eventuali asintoti orizzontali o obliqui.

Dato che, per confronto tra infiniti

non può esserci un asintoto orizzontale. Controlliamo se è presente un asintoto obliquo

e da qui capiamo che non può esserci nemmeno un asintoto obliquo perché, se esistesse, dovrebbe avere pendenza zero e dunque essere orizzontale. Assurdo.

La funzione diverge e basta per , in modo analogo si vede che diverge e basta per

Per quanto riguarda gli asintoti verticali conviene farci furbi! E' facile vedere che stiamo lavorando con una funzione dispari, infatti

dunque essa è simmetrica rispetto all'origine degli assi.

Morale della favola: possiamo limitarci a calcolare i limiti per , i valori dei limiti per seguiranno per simmetria.

Molto semplice: il numeratore è un infinitesimo, il denominatore un infinito.

e

In particolare: come si fa a capire se la convergenza di per a avviene da sopra o da sotto (rispettivamente ) ?

Basta tenere a mente il grafico del logaritmo naturale: se ci avviciniamo al punto da sinistra ( ), raggiungiamo l'ordinata da sotto ( ); se ci avviciniamo al punto da destra ( ), raggiungiamo l'ordinata da sopra ( ).

In questo modo sappiamo per simmetria che

Vale comunque la pena di calcolare a mano i due limiti per , perché non avrai sempre la fortuna di lavorare in ipotesi di simmetria.

Presta moltissima attenzione: se il numero cui tende x è negativo e devi calcolare i due limiti da sinistra e da destra, scrivi sempre il numero con segno tra parentesi tonde!

In questo modo potrai dare un'interpretazione "posizionale" più che quantitativa.

[DA SINISTRA]

[DA DESTRA]

Così facendo puoi vedere velocemente che

A questo punto il calcolo è immediato. Il limite sinistro è perché

mentre il limite destro è

Il grafico della funzione conferma i precedenti calcoli

Innanzitutto grazie mille per la spiegazione esaurientissima

Non mi torna solo il limite per .

Fare il limite in quel punto non equivale a fare il limite da sinistra? e quindi non "rimarrei" sempre con la negativa?

Invece tu "annulli" i due meno e quindi la diventa positiva.

E' una cosa che si fa in ogni caso, ossia ogni qualvolta mi trovo un limite per ?

Domani ho l'esame di analisi e improvvisamente mi accorgo di avere delle lacune paurose!

Ragiona così: è una quantità a sinistra di , quindi è una quantità IN MODULO più grande di , cioè IN MODULO è una quantità a destra di .

Fortuna vuole che tu debba prendere il modulo dell'argomento del logaritmo.

E' una cosa che si fa in ogni caso, ossia ogni qualvolta mi trovo un limite che tende a un ?

Nella speranza che d'ora innanzi tu voglia indicare "i meno e i più" di numeri negativi tra parentesi...No, non si fa in ogni caso.

Le considerazioni sugli "a sinistra, a destra" di un numero negativo che ho addotto nel precedente messaggio valgono a prescindere.

Il fatto di aver eliminato il segno negativo dipende dalla presenza del valore assoluto nell'argomento del logaritmo.