Segno di funzione con disequazione di terzo grado

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Segno di funzione con disequazione di terzo grado #59779

avt
anna_91
Cerchio
Buongiorno! Eccomi di nuovo qui per lo studio del segno di una funzione che mi porta ad una disequazione di terzo grado che...francamente non so risolvere!

La funzione è la seguente:

f(x) = ln (x^(2)-x^(3))

Ho calcolato il dominio: x < 0 o 0 < x < 1

Sono però in difficoltà sullo studio del segno.

Ho posto: ln (x^(2)-x^(3)) > 0

(x^(2)-x^(3)) > 1

x^(3)-x^(2)+1 < 0

qui però mi sono bloccata e non riesco a procedere. emt

Grazie!!!
 
 

Segno di funzione con disequazione di terzo grado #59785

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna_91 emt

quella in cui ti sei imbattuta è veramente una pessima disequazione. Tutto quello che hai fatto è corretto, sia le considerazioni relative al dominio della funzione, sia l'impostazione della disequazione logaritmica relativa al segno della funzione.

Ora ci troviamo di fronte alla disequazione

x^3-x^2+1 < 0

e trattandosi di una disequazione di terzo grado la prima cosa da fare sarebbe tentare di applicare il metodo di Ruffini. Prenderemmo i divisori del termine di grado zero per vedere se sono radici del polinomio o meno: x = ±1 non lo sono.

Dunque? emt

Il problema è che la disequazione in cui ci siamo imbattuti non è risolvibile algebricamente, o meglio non possiamo determinarne le eventuali radici reali con alcun metodo algebrico standard.

Dobbiamo necessariamente procedere con il metodo di risoluzione delle disequazioni trascendenti, anche se quella che abbiamo di fronte è una disequazione di terzo grado e non una disequazione trascendente. emt In due parole: metodo grafico per l'approssimazione delle eventuali radici.

Rileggiamo la disequazione come

x^3+1 < x^2

ossia come un confronto tra le immagini di due funzioni

g(x) < h(x)

dove g(x) = x^3+1 e h(x) = x^2. L'insieme delle soluzioni è l'insieme delle ascisse per cui il grafico di g(x) si trova al di sotto del grafico di h(x).
Non avrai alcun problema nel disegnare i grafici delle due funzioni, ne sono sicurissimo. Sono entrambe elementari (la prima con una traslazione di un'unità verso l'alto, vedi le regole per il grafico intuitivo)emt

cubica quadrica confronto grafico


e puoi indicare l'insieme delle soluzioni come x < α, dove approssimiamo α ≃ -0,7.

La funzione f(x) è positiva(*) per x < α, nulla in x = α, negativa sulla restante parte del dominio. emt


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(*) Ricordati della disequazione da cui siamo partiti.
Ringraziano: Galois, CarFaby, anna_91
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Os