Disequazione per lo studio del segno che non si risolve!

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Disequazione per lo studio del segno che non si risolve! #59587

avt
Niko_1990
Punto
Ciao a tutti, non riesco in alcun modo a risolvere la disequazione per lo studio del segno di una funzione

f(x) = (x)/(x+2)-log(x+2)

Per quanto riguarda il dominio, esso dovrebbe essere x > -2 (argomento logaritmo strettamente maggiore di 0 e denominatore diverso da zero).

Ho invece problemi per quanto riguarda il segno e le eventuali intersezioni con gli assi.

Per calcolare il segno ho provato a portare il logaritmo dall'altra parte, per eliminarlo, ma comunque poi mi ritrovo (se non ho sbagliato ad applicare la formula...)

e^((x)/(x+2)) ≥ x+2

E non so come andare avanti.
Stessi problemi per l'intersezione con gli assi, anche se ragionando, il numero e elevato a qualsiasi cosa non potrebbe essere mai uguale a 0, o no?

Chiedo quindi un piccolo aiuto, grazie.
 
 

Disequazione per lo studio del segno che non si risolve! #59606

avt
Omega
Amministratore
Ciao Niko,

la questione è spinosa, quindi attenzione & concentrazione. emt

La disequazione che discende dallo studio del segno della funzione

f(x) = (x)/(x+2)-log(x+2)

vale a dire f(x) ≥ 0, ossia

(x)/(x+2)-log(x+2) ≥ 0

non può essere risolta algebricamente. E' una disequazione trascendente e nella lezione del link trovi il metodo per "risolvere" disequazioni di questo tipo.

Il termine "risolvere" è improprio in questo contesto. Ciò che possiamo fare, in generale, è dare una stima degli estremi che individuano gli intervalli delle soluzioni. Nel nostro caso una stima degli estremi che individuano gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa.

In buona sostanza dobbiamo rileggere la disequazione come un confronto tra i valori assunti da altre due funzioni, ad esempio riscrivendola nella forma

(x)/(x+2) ≥ log(x+2) (•)

In questo modo ci riduciamo ad un confronto tra ordinate, ossia

g(x) ≥ h(x)

Le soluzioni della disequazione (•) corrispondono agli intervalli di ascissa in cui il grafico di y = g(x) si trova al di sopra del grafico di y = h(x).

In generale la disequazione precedente condurrebbe a due rapidissimi studi di funzione, atti a disegnare i grafici delle funzioni g(x),h(x).

Nel nostro caso possiamo disegnare i grafici delle funzioni g(x),h(x) molto agevolmente. emt

La funzione g(x) = (x)/(x+2) ha per grafico un'iperbole equilatera..

La funzione h(x) = log(x+2) ha un grafico che si può ricavare molto rapidamente dal grafico del logaritmo naturale. Basta traslare il grafico del logaritmo a sinistra di due unità, in accordo con le regole per il grafico intuitivo di funzioni.

In sintesi avremmo

confronto grafico per segno funzione


dove la funzione in rosso è quella logaritmica e quella in blu è quella razionale.

Prendiamo le soluzioni che si trovano nell'intersezione delle funzioni g(x),h(x), dunque in (-2,+∞). In parole povere nel dominio della funzione f(x): dato che il grafico di g(x) si trova sempre al di sotto del grafico di h(x), la disequazione

(x)/(x+2) ≥ log(x+2) (•)

non ammette soluzioni. Ciò significa che y = f(x) è negativa su tutto il suo dominio.


Siamo stati fortunati, non abbiamo dovuto fare alcun tipo di approssimazione. emt

Ti raccomando la lettura della lezione sulle disequazioni trascendenti. Se poi vorrai controllare com'è il grafico di f(x) = (x)/(x+2)-log(x+2), puoi usare il tool per il grafico di funzione online. emt
Ringraziano: CarFaby, Niko_1990

Re: Disequazione per lo studio del segno che non si risolve! #59807

avt
Niko_1990
Punto
innanzitutto grazie mille per la celere e precisa risposta:)
ho solo una piccola domanda da farti:

ho fatto il grafico della funzione con l'apposito tool di youmath, però il risultato sono due grafici, uno con x da -3 a 1 e uno con x da -10 a 10.

come faccio a capire qual è la funzione che devo disegnare?

inoltre ci sono dei segni blu ( real part) e dei segni rossi (imaginary part): devo considerare solo i segni rossi, vero?

grazie mille:)
Ringraziano: Omega

Re: Disequazione per lo studio del segno che non si risolve! #59831

avt
Omega
Amministratore
come faccio a capire qual è la funzione che devo disegnare?

Temo di non aver capito il senso della domanda... :(

inoltre ci sono dei segni blu ( real part) e dei segni rossi (imaginary part): devo considerare solo i segni rossi, vero?

Alt: come indicato chiaramente nelle righe che precedono il tool

Nota bene: considera solo e solamente la parte di grafico in cui la linea rossa è a zero

Quindi devi guardare il grafico blu solamente negli intervalli in cui la linea rossa è a zero. emt
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Os