Limite di una funzione fratta

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Limite di una funzione fratta #5652

avt
Nancy
Punto
Ciao, quasi quasi mi vergogno a chiederlo visto che è un problema di segni ma non riesco a capire dove sbaglio: devo risolvere il limite

\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 4x - 12}{6 - x}

Io ho fatto la scomposizione e mi veniva

\frac{(x+6)(x-2)}{6-x}

però adesso mi sono bloccata!
 
 

Limite di una funzione fratta #5653

avt
frank094
Maestro
Ciao Nancy, vediamo subito dove può trovarsi l'errore.

Consideriamo il limite

\lim_{x\to 6} \frac{x^2-4x-12}{6-x}=(\bullet)

genera la forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].

Risolvendo l'equazione di secondo grado associata al polinomio a numeratore si trovano i due coefficienti che ci consentono di scomporlo come

x^2-4x-12=(x-6)(x+2)

Un altro modo per scomporre tale polinomio consiste nell'applicare la regola di scomposizione relativa ai trinomio speciale: andiamo alla ricerca di due numeri reali a \ \mbox{e} \ b tali che la loro somma coincide con il coefficiente di x mentre il loro prodotto coincide con il termine noto.

\\ a+b=-4\\ \\ a\cdot b=-12

Individuiamo i due numeri procedendo per tentativi: deduciamo che a=-2 \ \mbox{e} \ b=-6 grazie ai quali possiamo scrivere l'uguaglianza

x^2-4x-12=(x-2)(x-6)

Da quel che mi pare di capire il problema è proprio qui: hai invertito i segni dei coefficienti nella scomposizione. Ad ogni modo, sostituendo la scomposizione nel limite otteniamo:

(\bullet)=\lim_{x\to 6}\frac{(x-6)(x+2)}{6-x}=

Dalla prima parentesi raccogliamo un segno meno

=\lim_{x\to 6}\frac{-(6-x)(x+2)}{6-x}=

in questo modo è possibile semplificare numeratore e denominatore e giungere al risultato per sostituzione diretta

=\lim_{x \to 6}[-(x+2)]=-8

Fatto!
Ringraziano: Omega, Ifrit

Limite di una funzione fratta #5654

avt
Nancy
Punto
Ho capito, grazie mille!
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Os