Ricondurre un limite fratto ai limiti notevoli

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Ricondurre un limite fratto ai limiti notevoli #56458

avt
Cesc__
Cerchio
Sto perdendo un po' di tempo su questo limite senza riuscire a risolverlo, tentando di riportarlo a qualche limite notevoli...

\lim_{x\to1}\frac{e^{x}-e}{\sqrt{x}-1}

Ho provato ad aggiungere +1 e -1 al numeratore in modo da ricondurlo a qualche limite notevole ma non so continuare. Grazie a tutti della disponibilità!
 
 

Ricondurre un limite fratto ai limiti notevoli #56471

avt
Omega
Amministratore
Usare i limiti notevoli è certamente la strada migliore per portare a casa il risultato, il "problema" è mettersi nella condizione di poterli usare.

Il limite

\lim_{x\to 1}\frac{e^{x}-e}{\sqrt{x}-1}=

genera la forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Per risolverla conviene raccogliere una e a numeratore. Le proprietà delle potenze fanno il resto

=\lim_{x\to1}\frac{e(e^{x-1}-1)}{\sqrt{x}-1}=(\bullet)

Bene, siamo pronti per applicare il limite notevole dell'esponenziale

\lim_{h(x)\to 0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1

e la relativa relazione asintotica

e^{h(x)}-1\sim_{h(x)\to 0}h(x)

valida nel momento in cui h(x)\to 0.

Dato che x-1\to_{x\to 1}0, possiamo usare la forma generale del suddetto limite e sostituire x-1 in luogo di e^{x-1}-1
(come si usano i limiti notevoli? Click!)

(\bullet)=\lim_{x\to1}\frac{e\left(x-1)}{\sqrt{x}-1}=(\bullet\bullet)

A questo punto possiamo scomporre x-1 con la regola somma per differenza:

x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) \ \ \mbox{per}\ x\ge 0

Sottolineiamo che tale relazione è valida in un intorno sufficientemente piccolo di 1, pertanto può essere applicata per il calcolo del limite giacché x\to 1.

Non ci resta che sostituire e semplificare in modo opportuno

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{e(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\to1}e(\sqrt{x}+1)=2e

Il risultato si ottiene per sostituzione diretta. La si può applicare con successo perché dopo la semplificazione abbiamo eliminato il termine che generava la forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Cesc__

Ricondurre un limite fratto ai limiti notevoli #56476

avt
Cesc__
Cerchio
Grazie Omega, sempre perfetto e veloce nelle risposte.
Ringraziano: Omega
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Os