Calcolare un limite, se esiste

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#56384
avt
rsist
Banned

Avrei bisogno di un aiuto con un esercizio su un limite con esponenziale in base 2 e logaritmo del coseno.

Si calcoli, se esiste, il seguente limite:

lim_(x → 0)2^((1)/(x))log(cos(x))

Grazie in anticipo

#56414
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao Rsist,

conviene studiare separatamente il limite per x che tende a 0^(+) e x che tende a 0^(−).

Cominciamo con 0^(−) e consideriamo il limite:

lim_(x → 0^(−)) 2^((1)/(x))ln(cos(x)) = 0

questo perché (1)/(x) → −∞ se x → 0^(−) e pertanto:

2^((1)/(x)) → 0 se x → 0^(−)

mentre ln(cos(x)) → 0 se x → 0^(−).

Adesso consideriamo il caso più delicato:

lim_(x → 0^(+))2^((1)/(x))ln(cos(x)) = [+∞·0]

abbiamo una forma indeterminata.

Possiamo seguire i passaggi che hai proposto:

lim_(x → 0^(+))2^((1)/(x))ln(cos(x)) =

lim_(x → 0^(+))2^((1)/(x)) (ln(1+(cos(x)−1)))/(cos(x)−1)·(cos(x)−1)/(x^2)x^2

da cui, utilizzando i limiti notevoli

lim_(x → 0^(+))2^((1)/(x)) (−(x^2)/(2))

Per risolvere questo limite, poniamo t = (1)/(x) ed osserva che quando x tende a zero più, la variabile t tende a più infinito:

lim_(t → +∞)(2^(t))/(−2t^2) = −∞

questo perché 2^t è un infinito di ordine superiore a qualsiasi potenza.

Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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