Dimostrare che una funzione è limitata sul dominio

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Dimostrare che una funzione è limitata sul dominio #52052

avt
Andrea93
Punto
Ho affrontato molti esercizi sulle funzioni limitate e illimitate e finora non ho riscontrato molte difficoltà. Mi è capitato però un problema in cui mi viene chiesto di dimostrare la limitatezza della somma di due funzioni e non ho idea di come procedere.

Dopo aver determinato il dominio di

f(x)=\sqrt{1-x^2}+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)

dimostrare che è una funzione limitata sul proprio insieme di definizione.
 
 

Dimostrare che una funzione è limitata sul dominio #52056

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo la funzione

f(x)=\sqrt{1-x^2}+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)

e calcoliamone il dominio imponendo la non negatività del radicando 1-x^2 e la non nullità del denominatore che si trova nell'argomento dell'arcotangente. Tali condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché imposteremo il sistema

\begin{cases}1-x^2\ge 0 \\ x\ne 0\end{cases} \ \to \ \begin{cases}-1\le x\le 1 \\ x\ne 0\end{cases}

da cui ricaviamo che il dominio è

Dom(f)=[-1,0)\cup(0,1]

Per dimostrare che f(x) è una funzione limitata può tornare utile il risultato teorico che garantisce la limitatezza della somma di funzioni nel caso in cui esse siano limitate.

Nel caso in esame f(x) è la somma tra la funzione irrazionale

g(x)=\sqrt{1-x^2}

e la funzione

h(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)

Tentiamo di dimostrare che g(x) è una funzione limitata sull'insieme [-1,0)\cup(0,1] verificando che l'immagine della funzione sia limitata.

Proponiamoci come obiettivo quello di determinare i numeri reali y per i quali esiste almeno una soluzione della seguente equazione irrazionale

\sqrt{1-x^2}=y

In accordo con la teoria, essa è equivalente al sistema

\begin{cases}1-x^2\ge 0  \\ y\ge 0 \\ 1-x^2=y^2\end{cases}\ \to \ \begin{cases}-1\le x\le 1 \\ y\ge 0 \\ x^2= 1-y^2\end{cases}

Concentriamoci per il momento sull'ultima relazione

x^2=1-y^2

Essa ammette soluzioni in x se e solo se il secondo membro è positivo o nullo, ossia se

1-y^2\ge 0 \ \to \ y^2\le 1 \ \to \ -1\le y\le 1

Tenendo conto della condizione y\ge 0 ricaviamo che l'equazione y=\sqrt{1-x^2} ammette soluzioni in x se e solo se

0\le y\le 1

Possiamo dunque affermare che l'immagine della funzione g(x) è

Im(g)=[0,1]

La limitatezza dell'insieme immagine di g(x) garantisce che g(x) è una funzione limitata sul proprio dominio.

Per quanto concerne

h(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)

siamo subito in grado di asserire che è una funzione limitata per via della limitatezza dell'arcotangente.

In accordo con il teorema sulla limitatezza della somma di funzioni limitate possiamo concludere che

f(x)=\sqrt{1-x^2}+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)

è una funzione limitata perché somma di funzioni limitate.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
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