Esercizio: funzione limitata o illimitata su un intervallo

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Esercizio: funzione limitata o illimitata su un intervallo #51638

avt
xpierox93
Punto
Dovrei dimostrare la limitatezza di una funzione esponenziale con coseno su un intervallo ma purtroppo non ci riesco. Ho tentato l'approccio algebrico affidandomi alla definizione di funzione limitata, ma i calcoli diventano insostenibili. Esiste certamente un metodo che non conosco ecco perché ho bisogno del vostro aiuto.

Mostrare che

f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{\tfrac{6}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}-1}

è una funzione limitata sull'intervallo J=\left[\frac{3}{\pi},+\infty\right), giustificando opportunamente il procedimento seguito.
 
 

Esercizio: funzione limitata o illimitata su un intervallo #51640

avt
Omega
Amministratore
Sia data la funzione

f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{\tfrac{6}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}-1}

Il problema richiede di dimostrare che f(x) è una funzione limitata sull'intervallo J=\left[\frac{3}{\pi},+\infty\right).

] Una possibile strategia risolutiva consiste nell'utilizzare la monotonia delle funzioni elementari che compongono la funzione.

Dal punto di vista operativo, partiamo dall'intervallo J espresso mediante la disequazione

x\ge\frac{3}{\pi}

dopodiché applichiamo ai due membri le funzioni di cui abbiamo bisogno per ricostruire l'espressione analitica di f(x). Per prima cosa passiamo ai reciproci, operazione che invertirà i versi

0<\frac{1}{x}\le\frac{\pi}{3}

Osserviamo che la relazione 0<\frac{1}{x} scaturisce dalla positività di x.

Nell'intervallo di estremi 0 e \frac{\pi}{3} il coseno è una funzione strettamente decrescente, ecco perché quando lo applichiamo alla doppia disequazione dobbiamo ricordarci di invertire i versi

\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\le\cos\left(\frac{1}{x}\right)<\cos(0)

ossia

\frac{1}{2}\le\cos\left(\frac{1}{x}\right)<1

A questo punto moltiplichiamo ciascun termine per 2

1\le 2\cos\left(\frac{1}{x}\right)<2

e sommiamo 1 così da ricavare

2\le 1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)<3

È giunto il momento di passare ai reciproci per cui dovremo invertire ancora una volta i versi della doppia disequazione

\frac{1}{3}<\frac{1}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}\le\frac{1}{2}

Moltiplichiamo per 6 i tre membri

2<\frac{6}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}\le 3

e ancora sottraiamo 1

1<\frac{6}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}-1\le 2

Abbiamo quasi concluso: dobbiamo semplicemente applicare l'esponenziale con base tra 0 e 1, la quale inverte i versi essendo una funzione strettamente decrescente

\\ \left(\frac{1}{3}\right)^2\le \left(\frac{1}{3}\right)^{\tfrac{6}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}-1}<\frac{1}{3} \\ \\ \mbox{ossia} \\ \\ \frac{1}{9}\le \left(\frac{1}{3}\right)^{\tfrac{6}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}-1}< \frac{1}{3}

I passaggi algebrici quindi garantiscono che per x\ge\frac{3}{\pi} esistono due costanti reali m=\frac{1}{9} e M=\frac{1}{3} che realizzano la definizione di funzione limitata

\frac{1}{9}\le f(x)<\frac{1}{3} \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\ge\frac{3}{\pi}

Ecco fatto.
Ringraziano: xpierox93
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Os