Funzione irrazionale limitata o illimitata dall'immagine

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Funzione irrazionale limitata o illimitata dall'immagine #50996

avt
salvaglianimali
Punto
Non riesco proprio a risolvere un esercizio sulle funzioni limitate e illimitate che mi chiede di calcolare l'immagine di una funzione con radice e da esso dedurre che è una funzione illimitata superiormente.

Determinare il dominio e l'immagine della funzione

f(x)=\sqrt{\frac{3+4x}{x+1}}

Mostrare infine che f(x) è una funzione illimitata superiormente.
 
 

Funzione irrazionale limitata o illimitata dall'immagine #50999

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il problema consta di diversi punti: richiede di calcolare prima di tutto il dominio di

f(x)=\sqrt{\frac{3+4x}{x+1}}

Affinché la funzione abbia senso, dobbiamo richiedere che il radicando sia maggiore o al più uguale a 0, in altri termini deve sussistere la disequazione fratta

\frac{3+4x}{x+1}\ge 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore

\\ N\ge 0  \ : \ 3+4x\ge 0 \ \to \ x\ge -\frac{3}{4} \\ \\ \\ D>0 \ : \ x+1>0 \ \to \ x>-1

Una volta costruita la tabella dei segni, ricaviamo che la disequazione ha per soluzioni

x<-1\ \vee \ x\ge -\frac{3}{4}

Il dominio della funzione è dunque

Dom(f)=(-\infty, -1)\cup\left[-\frac{3}{4}, +\infty\right)

]Determiniamo ora l'immagine della funzione, cioè l'insieme dei numeri reali yy per i quali l'equazione

f(x)=y

ammetta almeno una soluzione nell'incognita x. In termini più espliciti, studieremo l'equazione irrazionale parametrica

\sqrt{\frac{3+4x}{x+1}}=y

Osserviamo immediatamente che se y fosse negativa, l'equazione non avrebbe certamente soluzioni giacché la radice al primo membro è una quantità non negativa e non può essere mai uguale ad una quantità minore di zero. Se y fosse maggiore o uguale a zero allora potremmo elevare al quadrato ambo i membri così da sbarazzarci della radice.

Questa piccolo ripasso teorico garantisce che l'equazione irrazionale è equivalente al sistema

\begin{cases}y\ge 0 \\ \\ \frac{3+4x}{x+1}=y^2\end{cases}

Senza perdere di vista la condizione y\ge 0, occupiamoci dell'equazione fratta

\frac{3+4x}{x+1}=y^2

e risolviamola osservando che per x\ne -1 siamo autorizzati a moltiplicare i due membri per il fattore x+1 ricavando così

3+4x=(x+1)y^2 \ \to \ 3+4x=xy^2+y^2

Isoliamo i termini con l'incognita al primo membro

4x-x y^2=y^2-3

e, una volta messa a fattore comune x, possiamo iniziare l'analisi

x(4-y^2)=y^2-3

Se il fattore 4-y^2 è diverso da zero, ossia se y\ne \pm 2, allora l'equazione ammette soluzioni

x=\frac{y^2-3}{4-y^2}

Se invece y=-2 oppure se y=2 l'equazione è impossibile perché otteniamo l'uguaglianza assurda 0=1.

È il momento di fare il punto della situazione. L'equazione

\sqrt{\frac{3+4x}{x+1}}=y

ammette soluzioni se e solo se y\ge 0 \ \mbox{e} \ y\ne 2, pertanto l'immagine della funzione è

Im(f)=[0,2)\cup(2,+\infty)

] Chiaramente l'insieme delle immagini è un insieme illimitato superiormente mentre è limitato inferiormente dal numero reale m=0, di conseguenza f(x) è una funzione illimitata superiormente che è ciò che l'esercizio voleva.

Nota: l'immagine della funzione garantisce che f(x) è una funzione limitata inferiormente da m=0 e soddisfa la relazione

\sqrt{\frac{3+4x}{x+1}}\ge 0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in Dom(f)

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
  • Pagina:
  • 1
Os