Problema con disequazioni irrazionali nel calcolo del campo di esistenza

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Problema con disequazioni irrazionali nel calcolo del campo di esistenza #47252

avt
studente_incrisi
Punto
Ciao a tutti, spero di aver scelto la sezione giusta per postare questa domanda. Devo determinare il dominio di questa funzione:

f(x) = log ( sqrt(|x^2 -1|) -x)

Ho impostato due sistemi per calcolare il campo di esistenza, uno con le condizioni

sqrt(|x^2 -1|) -x > 0

x^2 - 1 > 0

e l'altro con

sqrt(|x^2 -1|) -x > 0

x^2 - 1 < 0 .

Risolvendo il primo sistema trovo che questo non ha soluzioni, mentre il secondo ha come soluzione ( -(1/2)^1/2 , +(1/2)^1/2) che, secondo il mio ragionamento, dovrebbe essere il campo di esistenza della funzione.

Controllando la soluzione del prof, il campo d'esistenza di questa funzione è ( -infinito; (1/2)^1/2 ).

Dove sbaglio di preciso? Grazie in anticipo! emt
 
 

Re: Problema con disequazioni irrazionali nel calcolo del campo di esistenza #47294

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao studente_incrisi

Dobbiamo determinare il dominio della funzione:

f(x) = ln(√(|x^2-1|)-x)

la presenza del logaritmo impone la condizione:

√(|x^2-1|)-x > 0

ci siamo ricondotti ad una disequazione irrazionale con indice pari. Prima di procedere però possiamo usare un trucchetto così da levarci di torno il valore assoluto:

|x^2-1| = √((x^2-1)^2)

quindi:

√(√((x^2-1)^2))-x > 0

Per la proprietà delle radici:

[4]√((x^2-1)^2)-x > 0

Scriviamolo in forma normale:

[4]√((x^2-1)^2) > x

questa disequazione equivale all'unione dei sistemi:

(x^2-1)^2 ≥ 0 ; x ≥ 0 ; (x^2-1)^2 > x^4 endcase U begincases(x^2-1)^2 ≥ 0 ; x < 0


Risolvi il primo sistema, ha per soluzione 0 ≤ x < (1)/(√(2))

Il secondo sistema ha per soluzione x < 0. Unendo le soluzioni otterrai che il dominio è:

x < (1)/(√(2))


Il dominio della funzione è:

dom(f) = (-∞, (1)/(√(2)))
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois

Re: Problema con disequazioni irrazionali nel calcolo del campo di esistenza #47295

avt
Galois
Amministratore
Ciao studente_incrisi emt

Dobbiamo trovare il dominio della funzione:

f(x) = log[√(|x^2-1|)-x]

Dobbiamo porre:

|x^2-1| ≥ 0 per esistenza radice ; √(|x^2-1|)-x > 0 per esistenza logaritmo

Ora, ovviamente:

|x^2-1| ≥ 0| è verificata ∀ x∈ R

Risolviamo quindi:

√(|x^2-1|)-x > 0 ovvero √(|x^2-1|) > x

Si tratta di una disequazione irrazionale.

Risolviamola! (*)

|x^2-1| ≥ 0 ; x < 0 U x ≥ 0 ; |x^2-1| > x^2

Ora, il primo sistema è verificato per x < 0 in quanto la prima disequazione (l'abbiamo visto prima) è sempre verificata.

Passiamo al secondo sistema, ovvero risolviamo:

(**)x ≥ 0 ; |x^2-1| > x^2

Per la prima disequazione non c'è nulla da fare.

Passiamo alla seconda:

|x^2-1| > x^2

E' una disequazione in valore assoluto

Dobbiamo quindi impostare i due sistemi:

x^2-1 ≥ 0 ; x^2-1 > x^2 U x^2-1 < 0 ; 1-x^2 > x^2

Il primo di tali sistemi è ovviamente impossibile in quanto semplificando gli x^2 nella seconda disequazione rimane -1 > 0.

Risolviamo quindi il secondo sistema.

x^2-1 < 0 ⇔-1 < x < 1

1-x^2 > x^2 ⇔ 2x^2-1 < 0 ⇔-(1)/(√(2)) < x < (1)/(√(2))

mettendo insieme i risultati abbiamo quindi che il sistema è verificato per

-(1)/(√(2)) < x < (1)/(√(2))

Tale disequazione faceva parte però del sistema

(**) x ≥ 0 ; |x^2-1| > x^2

Quindi, mettendo insieme le soluzioni, il sistema è verificato per

0 ≤ x < (1)/(√(2))

Ricordiamo però che siamo arrivati qui partendo da (*), ovvero il dominio è dato dall'unione dei sistemi:

|x^2-1| ≥ 0 ; x < 0 U x ≥ 0 ; |x^2-1| > x^2

Ora, abbiamo visto che il primo sistema è verificato per x < 0

Il secondo per 0 ≤ x < (1)/(√(2))

e di questi, per trovare il dominio dobbiamo farne l'unione, cioè, per intenderci, rappresentare le due soluzioni sulla stessa retta, quindi:

6.2.12.2


Ovvero il dominio è (-∞,(1)/(√(2)))

Spero di essere stato chiaro emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Problema con disequazioni irrazionali nel calcolo del campo di esistenza #47305

avt
Omega
Amministratore
@Galois: typo sulla linea di arrivo! emt emt
Ringraziano: Ifrit, Galois

Re: Problema con disequazioni irrazionali nel calcolo del campo di esistenza #47308

avt
Galois
Amministratore
Ops emt

Corretto! emt

emt emt emt

Grazie Omega emt
Ringraziano: Omega, Ifrit

Re: Problema con disequazioni irrazionali nel calcolo del campo di esistenza #48813

avt
studente_incrisi
Punto
Grazie per le risposte! Purtroppo le ho viste soltanto adesso.. emt
Proverò a rifare l'esercizio!! Vi farò sapere! emt
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Os